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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 So 13.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
Hallo!
Könnt ihr mir nen Tipp für eine Betragsungleichung geben?
Folgender Term ist gegeben:
[mm] \bruch {\left| x^2-4 \left|}{x+2} \ge [/mm] X
Diesen Term habe ich nun so umgeformt:
[mm] \bruch {\left| (x+2)(x-2) \left|}{x+2} \ge [/mm] X
Welche Fallunterscheidung ist jetzt zu treffen?
Irgendwie verunsichert mich der Bruch noch etwas, obwohl der ja eigentlich wegfallen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 So 13.03.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
> Könnt ihr mir nen Tipp für eine Betragsungleichung
> geben?
> Folgender Term ist gegeben:
>
> [mm]\bruch {\left| x^2-4 \left|}{x+2} \ge[/mm] X
>
> Diesen Term habe ich nun so umgeformt:
>
> [mm]\bruch {\left| (x+2)(x-2) \left|}{x+2} \ge[/mm] X
>
> Welche Fallunterscheidung ist jetzt zu treffen?
> Irgendwie verunsichert mich der Bruch noch etwas, obwohl
> der ja eigentlich wegfallen würde.
>
>
Hallo DrOetker,
also zunächst gucken wir uns mal den Betrag an
Also bei deiner Aufgabe $ [mm] \bruch {\left| x^2-4 \left|}{x+2} \ge [/mm] x $ sehen wir ja, dass zwischen den Betragstrichen etwas positives
steht für alle $x>2$ und etwas negatives für alle $x<2$. Ist der Wert zwischen den Betragsstrichen positiv, so können wir diese einfach
wegfallen lassen. Ist er negativ, so müssen wir mit $(-1)$ multiplizieren.
(1) $x>2$
[mm] $\bruch{(x-2)(x+2)}{(x+2)} \ge [/mm] x$
$x-2 [mm] \ge [/mm] x$
Hier gibt es keine Zahl die diese Anforderungen erfüllt. Denn keine Zahl ist größer oder gleich der um 2 größeren Zahl.
(2) $x<2$
[mm] $\bruch{-(x-2)(x+2)}{(x+2)} \ge [/mm] x$
$(2-x) [mm] \ge [/mm] x$ $|+x$
$2 [mm] \ge [/mm] 2x$
$1 [mm] \ge [/mm] x$
Das gilt für alle $x<1$.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 13.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
Vorab Danke für deine Hilfe!
Habe mich jetzt den ganzen Nachmittag mit diesen blöden Betragsungleichungen geärgert und glaube das ich es weitestgehend verstanden habe. Aber diese Aufgabe kappiere ich zum verrecken nicht.
Deine Überlegung zu Fall eins und zwei habe ich zwar verstanden, aber hast du dich da beim zweiten Fall nicht vertan???
Es müßte doch eigentlich
-x-2 [mm] \ge [/mm] x
x [mm] \ge [/mm] -1
heißen, oder?
Wenn ich dann aber z.B. -1,5 in die Ungleichung einsetze kommt nur Müll raus. Was habe ich da in den falschen Hals bekommen?
Habe mir auch nocheinmal Gedanken gemacht. Schau dir das bitte mal an.
[mm] \bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2}\bruch \ge [/mm] X
[mm] \left| x^2-4\right| \ge [/mm] x(x+2)
1. Fall
[mm] x^2-4 [/mm] > 0
[mm] x^2 [/mm] > 4
x>2 v x>-2
2. Fall
[mm] x^2-4 [/mm] < 0
[mm] x^2 [/mm] < 4
x<2 v x<-2
Was ist von dem Ansatz zu halten?
Wenn ich damit was machen kann, hätte ich dann quasi jeweils zwei Unterfälle, oder muß ich das "v" durch ein "^" ersetzen und dann mit der SChnittmenge rechnen???
Hoffe du schlägst die Hände jetzt nicht über dem Kopf zusammen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 14.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
Ich glaube jetzt wächst mir die Aufgabe völlig über den Kopf.
Mit den Einwänden von dir und Loddar bin ich, zumindest so wie ich es verstanden habe, schon bei vier Fällen. Und zwar:
1. Fall
[mm] x^2-4>0 [/mm] ^ x+2>0
x>2 ^ x>-2
x>-2
2. Fall
[mm] x^2-4>0 [/mm] ^ x+2<0
x<2 ^ x < -2
x>-2
3. Fall
[mm] x^2-4<0 [/mm] ^ x+2>0
x<2 ^x>-2
x>-2
4. Fall
[mm] x^2-4<0 [/mm] ^ x+2<0
x<2 ^ x<-2
x>-2
Was hältst du davon??????????????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrOetker!
Diese doppelte Fallunterscheidung ist für Deine spezielle Aufgabe gar nicht nötig, da sich der Nenner-Term ja immer rauskürzt.
Nur wenn man wie Du zunächst mit dem Term $(x \ + \ 2)$ multipliziert, ist diese weitere Fallunterscheidung erforderlich (siehe meine Antwort von heute Nacht).
Gehen wir doch mal schrittweise vor ...
[mm] $\bruch{\left| x^2-4 \right|}{x+2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ x$
1. Fall
> [mm]x^2-4>0[/mm] ^ x+2>0
> x>2 ^ x>-2
> x>-2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $x^2-4 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{4} [/mm] \ = \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \red{\le} [/mm] \ -2 \ \ [mm] \vee [/mm] \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ +2$
$x+2 \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ -2$
Schnittmenge: $x \ [mm] \ge [/mm] \ +2$
2. Fall
> [mm]x^2-4>0[/mm] ^ x+2<0
> x<2 ^ x < -2
> x>-2
[mm] $x^2-4 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \le [/mm] \ -2 \ \ [mm] \vee [/mm] \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ +2$
$x+2 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ -2$
Schnittmenge: $x \ < \ -2$
3. Fall
> [mm]x^2-4<0[/mm] ^ x+2>0
> x<2 ^x>-2
> x>-2
[mm] $x^2-4 [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ < \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-2 \ < \ x \ < \ +2$
$x+2 \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ -2$
Schnittmenge: $-2 \ < \ x \ < \ +2$
4. Fall
> [mm]x^2-4<0[/mm] ^ x+2<0
> x<2 ^ x<-2
> x>-2
[mm] $x^2-4 [/mm] \ <\ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ < \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-2 \ < \ x \ < \ +2$
$x+2 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ -2$
Schnittmenge: [mm] $\{ \ \}$ [/mm] Leere Menge, da sich die beiden Mengen widersprechen. Dieser Fall braucht nicht weiter verfolgt zu werden ...
Aber wie oben schon angedeutet, kommt man hier auch mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:
Fall A : [mm] $x^2-4 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \wurzel{4} [/mm] \ = \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \le [/mm] \ -2 \ \ [mm] \vee [/mm] \ \ x \ [mm] \ge [/mm] \ +2$
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{\left| x^2-4 \right|}{x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-4}{x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x+2)*(x-2)}{x+2} [/mm] \ = \ x-2 \ [mm] \ge [/mm] \ x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-2 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ falsche Aussage!
[mm] $\Rightarrow$ $\IL [/mm] \ = \ [mm] \emptyset [/mm] \ = \ [mm] \{ \ \}$
[/mm]
Fall B : [mm] $x^2-4 [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ < \ 2$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-2 \ < \ x \ < \ +2$
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{\left| x^2-4 \right|}{x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-\left(x^2-4\right)}{x+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-(x+2)*(x-2)}{x+2} [/mm] \ = \ -(x-2) \ = \ 2-x \ [mm] \ge [/mm] \ x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $1 \ [mm] \ge [/mm] \ x$
[mm] $\Rightarrow$ $\IL_x [/mm] \ = \ [mm] \{x \in \IR \left| \ -2 \ < \ x \ \le \ 1 \ \}$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 Mo 14.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
DANKE das du dir die Mühe gemacht hast das einmal so sauber aufzuschreiben.
Gerade die Sache unter dem Bruchstrich hat mir die ganze Zeit sorgen gemacht. Zwar wußte ich dass der Nenner später wegfällt, jedoch war mir nicht klar wie ich das bei der Bearbeitung der unterschiedlichen Fälle berücksichtigen muss.
VIELEN DANK!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrOetker !
> [mm]\bruch {\left| x^2-4 \right|}{x+2}\bruch \ge[/mm] X
> [mm]\left| x^2-4\right| \ge[/mm] x(x+2)
Dein 1. Schritt mit der Multiplikation von $(x+2)$ birgt aber einige Risiken, denn Du mußt an dieser Stelle schon untersuchen, ob gilt: $x+2 \ > \ 0$ bzw. $x+2 \ < \ 0$.
Denn für $x+2 \ < \ 0$ würde sich das Ungleichheitszeichen von [mm] "$\ge$" [/mm] umdrehen in [mm] "$\le$" [/mm] durch die Multiplikation mit einer negativen Zahl ...
Gruß
Loddar
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