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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Fr 16.12.2016 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen sSie die Gleichheit
[mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\bruch{n!}{m!(n-m)!}=\bruch{(n+1)!}{m!(n-(m-1))!} [/mm] |
Hallo,
nachdem alles auf einen Bruch geschrieben wurde sieht die linke Seite so aus:
[mm] n!*\bruch{m!(n-m)!+(m-1)!(n-m+1)!}{m!(n-m)!(m-1)!(n-m+1)!}
[/mm]
um kürzen zu können wird aus den klammern m ausgeklammert. So dass der Bruch dann sie aussieht:
[mm] n!*\bruch{m(m-1)!(n-m)!+(m-1)!(n-m+1)(n-m)!}{m!(m-1)!(n-m+1)(n-m)!}
[/mm]
Ist das alles was man ausklammern kann ? denn ich kenne nur die Regel (m+1)!=(m+1)*m!
und beide Male wurde diese Regel angewandt.
Weil dann wäre es nämlich sehr viel einfacher solche Brüche umzuformen.
Vielen Dank
Benni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Fr 16.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo Benni,
in meinen Augen hast du fast ein wenig zu viel erweitert!
[mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\bruch{n!}{m!(n-m)!}=\bruch{(n+1)!}{m!(n-(m-1))!} [/mm] bzw.
[mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\bruch{n!}{m!(n-m)!}=\bruch{(n+1)!}{m!(n-m+1))!}
[/mm]
ist zu zeigen oder zu widerlegen.
Im ersten Bruch steht ja schon (n-m+1)! da, jedoch (m-1)!
Wir wollen m!, folglich erweitern wir oben und unten mit m, denn damit haben wir:
[mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-m+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! * m}{(m-1)! * m * (n-m+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! * m}{m! * (n-m+1)!}
[/mm]
Im zweiten Bruch haben wir schon das m!, allerdings steht nur (n-m)! da.
Wir wollen aber (n-m+1)!. Folglich erweitern wir den zweiten Bruch oben und unten mit (n-m+1).
Dann haben wir:
[mm] \bruch{n!}{m!(n-m)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! * (n-m+1) }{m!(n-m)! * (n-m+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n! * (n-m+1) }{m!(n-m+1)!}.
[/mm]
Insgesamt ergibt sich:
[mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-m+1)!}+\bruch{n!}{m!(n-m)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! * m}{m! * (n-m+1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n! * (n-m+1) }{m!(n-m+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! * m + n! * (n-m+1)}{m!(n-m+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! (m + (n-m+1))}{m!(n-m+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! (n+1)}{m!(n-m+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{m!(n-m+1)!}
[/mm]
was zu zeigen war.
VG X3nion
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