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| Aufgabe | Bestimmen Sie die maximalen Ideale der folgenden Ringe:
[mm] \IR[x]/(x^2) [/mm] |
Hallo,
ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen. Aber Ringe sind wirklich schwierig...
Ich habe mir alle nötigen Definitionen herausgesucht und versucht zu verstehen.
Allerdings habe ich echt Schwierigkeiten an die Aufgabe heranzugehen.
Zuerst habe ich versucht, zu verstehen, was der Ring [mm] \IR[x]/(x^2) [/mm] genau ist.
daher habe ich versucht, einen Homomorphismus von [mm] \IR[x] [/mm] in einen weiteren Ring zu basteln, mit dem Kern [mm] x^2
[/mm]
Dann müsste ich ja zeigen, dass diese Abbildung bijektiv ist und ich könnte den Isomorphiesatz anwenden...
(So ging ich vor um mir den Ring [mm] \IR[x]/(x^2 [/mm] +1) anzuschauen ... dieser ist doch [mm] \IC, [/mm] oder??)
neija jedenfalls hat das hier nicht geklappt.
dann habe ich versucht [mm] \IR[x]/(x^2) [/mm] darzustellen. das ganze ist ja ein Faktorring...
Ist [mm] \IR[x]/(x^2)= \{p(x)+q(x)*x^2 : p,q Polynome aus \IR[x] \}
[/mm]
aber das ist ja nicht anderes als [mm] \IR[x] [/mm] also wieder ein Polynomring über die reellen Zahlen und das kann ja nicht sein..
also wo ist der Fehler bei meinen überlegungen.
und wenn ich ja nicht weiß, wie der Ring aussschaut, kann ich auch kein Ideal basteln...
ach ringe deprimieren mich... :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Fr 30.03.2012 | | Autor: | hippias |
> ach ringe deprimieren mich... :-(
Das muss nicht sein!
> Bestimmen Sie die maximalen Ideale der folgenden Ringe:
> [mm]\IR[x]/(x^2)[/mm]
> Hallo,
> ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen. Aber Ringe
> sind wirklich schwierig...
> Ich habe mir alle nötigen Definitionen herausgesucht und
> versucht zu verstehen.
> Allerdings habe ich echt Schwierigkeiten an die Aufgabe
> heranzugehen.
>
> Zuerst habe ich versucht, zu verstehen, was der Ring
> [mm]\IR[x]/(x^2)[/mm] genau ist.
> daher habe ich versucht, einen Homomorphismus von [mm]\IR[x][/mm]
> in einen weiteren Ring zu basteln, mit dem Kern [mm]x^2[/mm]
> Dann müsste ich ja zeigen, dass diese Abbildung bijektiv
> ist und ich könnte den Isomorphiesatz anwenden...
>
> (So ging ich vor um mir den Ring [mm]\IR[x]/(x^2[/mm] +1)
> anzuschauen ... dieser ist doch [mm]\IC,[/mm] oder??)
>
> neija jedenfalls hat das hier nicht geklappt.
> dann habe ich versucht [mm]\IR[x]/(x^2)[/mm] darzustellen. das
> ganze ist ja ein Faktorring...
> Ist [mm]\IR[x]/(x^2)= \{p(x)+q(x)*x^2 : p,q Polynome aus \IR[x] \}[/mm]
>
> aber das ist ja nicht anderes als [mm]\IR[x][/mm] also wieder ein
> Polynomring über die reellen Zahlen und das kann ja nicht
> sein..
Richtig: Vielmehr ist [mm] $\IR[x]/(x^2)$ [/mm] eine Menge von Mengen (den sog. Restklassen). Jedoch ist diese Darstellung von [mm] $\IR[x]$ [/mm] nuetzlich, wenn Du folgende 2 Dinge beachtest:
1. Das $p$ kann so gewaehlt werden, dass es den Grad hoechstens $1$ hat, d.h. oBdA $p= a+bx$.
2. Der natuerliche Homomorphismus bildet den [mm] $x^{2}q$ [/mm] Teil auf $0$ ab.
Daraus ergibt sich anschaulich, dass [mm] $\IR[x]/(x^2)$ [/mm] genau der Ring der Polynome $a+bx$ ist, ausgestattet mit der etwas wunderlichen Multiplikation $(a+bx)(c+dx)= ac+ (ad+bc)x$, weil [mm] $x^{2}= [/mm] 0$ ist.
> also wo ist der Fehler bei meinen überlegungen.
> und wenn ich ja nicht weiß, wie der Ring aussschaut, kann
> ich auch kein Ideal basteln...
Zum Auffinden der maximalen Ideale moegen diese Hinweise hilfreich sein: Mache Dir klar, dass der natuerliche Epimorphismus die maximalen Ideale von [mm] $\IR[x]$, [/mm] welche [mm] $(x^{2})$ [/mm] enthalten bijektiv auf die maximalen Ideale von [mm] $\IR[x]/(x^2)$ [/mm] abbildet. Danach brauchst Du nur noch die maximalen Ideale von [mm] $\IR[x]$ [/mm] bestimmen, die eben [mm] $(x^{2})$ [/mm] enthalten. Dies gelingt ganz gut, da [mm] $\IR[x]$ [/mm] ein Hauptidealring ist.
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> ach ringe deprimieren mich... :-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Fr 30.03.2012 | | Autor: | zugspitze |
danke für die antwort...
muss mir das jetzt erst noch ein paar mal anschauen... das dauert 
falls ich noch fragen habe, werde ich mich einfach noch mal melden...
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