Faktorisierung von p(f(t)) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mo 05.08.2013 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei $p(t)$ irreduzibel über $K$ und $f(t)$ ein beliebiges Polynom über $K$.
Meine Vermutung:
$p(f(t))$ zerfällt in maximal $deg(f)$-viele irreduzible Faktoren über $K$. |
Hallo,
ich versuche mir zu Stellen von Funktionenkörpern Gedanken zu machen und dabei vorallem von den Stellen eines kleineren Funktionenkörpers auf die eines größeren zu schließen.
Ich gehe dabei zunächst von den einfachen Funktionenkörpern
[mm] $K\subseteq [/mm] K(x) [mm] \subseteq [/mm] K(y)$ mit [mm] $y^2=x+c$, [/mm] $c [mm] \in [/mm] K$ und $x$ transzendent über $K$ aus.
Alle Stellen in $K(x)/K$ und $K(y)/K$ (bis auf die eine bei [mm] $\infty$) [/mm] werden durch ein über $K$ irreduzibles Polynom $p(x)$ bzw $q(y)$ erzeugt.
Ist [mm] $P_{p(x)}$ [/mm] eine solche Stelle von $K(x)/K$, so ist
$$ [mm] P_{p(x)} [/mm] = [mm] P_{p(y^2-c)} \subseteq P_{q(y)}$$
[/mm]
mit q(t) als irreduziblen Faktor [mm] p(t^2-c) [/mm] und [mm] $P_{q(y)}$ [/mm] die dazugehörige Stelle von $K(y)/K$.
Wie viele Stellen [mm] $P_q(y)$ [/mm] gibt es nun mit dieser Eigenschaft, bzw. wie viele irreduzible Faktoren hat also $p(f(t))$ mit [mm] $f(t):=t^2-c$?
[/mm]
P.S. Kann man über die Faktorisierung von p(f(t)) genaueres sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mo 05.08.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]p(t)[/mm] irreduzibel über [mm]K[/mm] und [mm]f(t)[/mm] ein beliebiges
> Polynom über [mm]K[/mm].
>
> Meine Vermutung:
> [mm]p(f(t))[/mm] zerfällt in maximal [mm]deg(f)[/mm]-viele irreduzible
> Faktoren über [mm]K[/mm].
> Hallo,
>
> ich versuche mir zu Stellen von Funktionenkörpern Gedanken
> zu machen und dabei vorallem von den Stellen eines
> kleineren Funktionenkörpers auf die eines größeren zu
> schließen.
Da gibt es durchaus Aussagen zu. Hast du mal in ein Buch ueber Funktionenkoerper geschaut, z.B. das von Stichtenoth?
> Ich gehe dabei zunächst von den einfachen
> Funktionenkörpern
> [mm]K\subseteq K(x) \subseteq K(y)[/mm] mit [mm]y^2=x+c[/mm], [mm]c \in K[/mm] und [mm]x[/mm]
> transzendent über [mm]K[/mm] aus.
Der Funktionenkoerper $K(y) / K$ ist rational, womit man direkt alle Stellen von $K(y) / K$ angeben kann.
> Alle Stellen in [mm]K(x)/K[/mm] und [mm]K(y)/K[/mm] (bis auf die eine bei
> [mm]\infty[/mm]) werden durch ein über [mm]K[/mm] irreduzibles Polynom [mm]p(x)[/mm]
> bzw [mm]q(y)[/mm] erzeugt.
Genau.
> Ist [mm]P_{p(x)}[/mm] eine solche Stelle von [mm]K(x)/K[/mm], so ist
> [mm]P_{p(x)} = P_{p(y^2-c)} \subseteq P_{q(y)}[/mm]
> mit q(t) als
> irreduziblen Faktor [mm]p(t^2-c)[/mm] und [mm]P_{q(y)}[/mm] die dazugehörige
> Stelle von [mm]K(y)/K[/mm].
>
> Wie viele Stellen [mm]P_q(y)[/mm] gibt es nun mit dieser
> Eigenschaft, bzw. wie viele irreduzible Faktoren hat also
> [mm]p(f(t))[/mm] mit [mm]f(t):=t^2-c[/mm]?
Ist $q$ ein irreduzibles Polynom, welches $p(f(t))$ teilt, dann gilt [mm] $\deg [/mm] p [mm] \mid \deg [/mm] q$: das wird z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier bewiesen. Da [mm] $\deg [/mm] p(f(t)) = 2 [mm] \deg [/mm] p$ ist in diesem Fall ist also entweder $p(f(t))$ irreduzibel oder das Produkt zweier irreduzibler Polynome von Grad [mm] $\deg [/mm] p$.
> P.S. Kann man über die Faktorisierung von p(f(t))
> genaueres sagen?
Ich weiss nicht ob man da ganz allgemein was zu sagen kann, ausser das was ich oben verlinkt hab.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Di 06.08.2013 | | Autor: | diddy449 |
Hallo nochmal,
> > Sei [mm]p(t)[/mm] irreduzibel über [mm]K[/mm] und [mm]f(t)[/mm] ein beliebiges
> > Polynom über [mm]K[/mm].
> >
> > Meine Vermutung:
> > [mm]p(f(t))[/mm] zerfällt in maximal [mm]deg(f)[/mm]-viele irreduzible
> > Faktoren über [mm]K[/mm].
> > ich versuche mir zu Stellen von Funktionenkörpern Gedanken
> > zu machen und dabei vorallem von den Stellen eines
> > kleineren Funktionenkörpers auf die eines größeren zu
> > schließen.
>
> Da gibt es durchaus Aussagen zu. Hast du mal in ein Buch
> ueber Funktionenkoerper geschaut, z.B. das von
> Stichtenoth?
Das Buch habe ich, ich bin da noch nicht so weit, bis jetzt waren da keine konkreten Aussagen zum Verhältnis von Stellen von ineinandergeschachtelten Funktionenkörpern und ich wollte auch ein bisschen Gefühl für das Thema gewinnen und deshalb an konkreten Funktionenkörpern rumrechnen.
>
> > Ist [mm]P_{p(x)}[/mm] eine solche Stelle von [mm]K(x)/K[/mm], so ist
> > [mm]P_{p(x)} = P_{p(y^2-c)} \subseteq P_{q(y)}[/mm]
> > mit q(t)
> als
> > irreduziblen Faktor [mm]p(t^2-c)[/mm] und [mm]P_{q(y)}[/mm] die dazugehörige
> > Stelle von [mm]K(y)/K[/mm].
> >
> > Wie viele Stellen [mm]P_q(y)[/mm] gibt es nun mit dieser
> > Eigenschaft, bzw. wie viele irreduzible Faktoren hat also
> > [mm]p(f(t))[/mm] mit [mm]f(t):=t^2-c[/mm]?
>
> Ist [mm]q[/mm] ein irreduzibles Polynom, welches [mm]p(f(t))[/mm] teilt, dann
> gilt [mm]\deg p \mid \deg q[/mm]: das wird z.B.
> hier
> bewiesen. Da [mm]\deg p(f(t)) = 2 \deg p[/mm] ist in diesem Fall ist
> also entweder [mm]p(f(t))[/mm] irreduzibel oder das Produkt zweier
> irreduzibler Polynome von Grad [mm]\deg p[/mm].
Vielen Dank, auf den Beweis wäre ich wohl nicht so schnell gekommen^^, das hilft mir sehr.
Gruß
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