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| Aufgabe | Gegeben seien Elemente a, b und c eines faktoriellen Rings R, man zeige:
ggT(kgV(a, b), c) = kgV(ggT(a, c), ggT(b, c))
und kgV(ggT(a, b), c) = ggT(kgV(a, c), kgV(b, c)) |
Hey, zu der oben gestellten Aufgabe ist mir leider nicht so klar, welche Umformungsmöglichkeiten es gibt. In meiner Mitschrift kann ich nichts ensprechendes finden.
Gibt es überhaupt definierte Axiome dafür? Wenn ja, hat jemand eventuell einen Link zu solchen?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben seien Elemente a, b und c eines faktoriellen Rings
> R, man zeige:
> ggT(kgV(a, b), c) = kgV(ggT(a, c), ggT(b, c))
> und kgV(ggT(a, b), c) = ggT(kgV(a, c), kgV(b, c))
> Hey, zu der oben gestellten Aufgabe ist mir leider nicht
> so klar, welche Umformungsmöglichkeiten es gibt. In meiner
> Mitschrift kann ich nichts ensprechendes finden.
ich auch nicht, ich kenne nämlich Deine Mitschrift nicht!
> Gibt es überhaupt definierte Axiome dafür?
Bitte? Ihr werdet doch sicher den [mm] $\ggT$ [/mm] und den [mm] $\kgV$ [/mm] definiert haben.
Und natürlich gibt es gewisse Regeln (keine Axiome), wie etwa
[mm] $\ggT(a,b)*\kgV(a,b)=a*b\,,$ [/mm] wobei diese Gleichheit bis auf Assoziiertheit gilt.
(Axiome kannst Du aber insofern benutzen, als dass ein (faktorieller) Ring
welchen genügt...)
> Wenn ja, hat
> jemand eventuell einen Link zu solchen?
Ich kann Dir vieles geben, aber woher soll ich wissen, was davon zu Eurer
Vorlesung passt? Empfehlen kann ich Dir mal "Elementare und algebraische
Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski (vielleicht habt ihr das ja
in der Bib. zum Ausleihen). Ansonsten rate ich Dir, vielleicht einfach mal
Googel mit den Stichwörtern "faktorieller Ring" oder "ggT in faktoriellen
Ringen" aufzurufen (meinetwegen auch ggT ausschreiben zu "größter
gemeinsamer Teiler"; analog mit kgV anstatt ggT oder mit beiden!)), und Dir
ein paar der Ergebnisse anzugucken.
Und natürlich kann ich Dir auch Definitionen nachliefern:
Seien $a,b [mm] \in R\,.$
[/mm]
EIN Element $d [mm] \in [/mm] R$ heißt (genau dann) EIN größter gemeinsamer Teiler
von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,,$ [/mm] wenn gilt: $d|a$ und $d|b$ und: Für alle $r [mm] \in [/mm] R$ mit $r|a$ und $r|b$ folgt [mm] $r|d\,.$
[/mm]
Man schreibt (in etwas unsauberer Notation) auch [mm] $\ggT(a,b)=d\,.$ [/mm] In etwas
saubererer Notation findet man manchmal sowas wie $d [mm] \sim \ggT(a,b)\,.$
[/mm]
(Frage an Dich: Wie wird dann wohl [mm] $\ggT(a,b,c)$ [/mm] für $a,b,c [mm] \in [/mm] R$ definiert werden?)
Analog:
EIN Element [mm] $\ell \in [/mm] R$ heißt (genau dann) EIN kleinstes gemeinsames Vielfaches
von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,,$ [/mm] wenn gilt: [mm] $a|\ell$ [/mm] und [mm] $b|\ell$ [/mm] und: Für alle $r [mm] \in [/mm] R$ mit $a|r$ und $b|r$ folgt [mm] $\ell|r\,.$
[/mm]
Man schreibt dann auch [mm] $\ell=\kgV(a,b)\,.$
[/mm]
Beachte: Die Elemente, die man mit diesen Begriffen definiert, sind nur bis
auf Assoziiertheit eindeutig!
D.h. etwa: Aus [mm] $u=\ggT(a,b)$ [/mm] und [mm] $v=\ggT(a,b)$ [/mm] darfst Du nicht [mm] $u=v\,$ [/mm] folgern,
sondern nur [mm] $u=e*v\,$ [/mm] mit einer Einheit $e [mm] \in R^\times:=\{\tilde{e}\in R:\;\tilde{e} \text{ ist eine Einheit}\}\,.$
[/mm]
P.S. "$d|a$ und $d|b$" besagt nichts anderes als: [mm] $d\,$ [/mm] ist ein Teiler sowohl von
[mm] $a\,$ [/mm] als auch von [mm] $b\,.$
[/mm]
Die Bedingung "Für alle $r [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $r|a\,$ [/mm] und [mm] $r|b\,$ [/mm] folgt [mm] $r|d\,$" [/mm] besagt:
Jedes Element, dass ein Teiler sowohl von [mm] $a\,$ [/mm] als auch von [mm] $b\,$ [/mm] ist, ist
auch ein Teiler von [mm] $d\,.$
[/mm]
In diesem Sinne ist [mm] "$d\,$ [/mm] 'größer' als jedes solche [mm] $r\,$".
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel, danke für deine ausführlich Antwort!
Ich denke, ich habe in meiner Mitschrift eine Definition gefunden, die ganz nützlich sein könnte und habe mithilfe dieser versucht die Gleichung zu zeigen. Ich habe den Ausschnitt meiner Mitschrift und meine Lösungsskizze einmal hochgeladen. Wäre es so möglich, wo liegen Denkfehler, wie kann ich es besser machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:47 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel, danke für deine ausführlich Antwort!
> Ich denke, ich habe in meiner Mitschrift eine Definition
> gefunden, die ganz nützlich sein könnte
das ist nicht die Definition von [mm] $\kgV$ [/mm] und [mm] $\ggT,$ [/mm] die da steht, sondern das
ist eine Folgerung für diese (wobei diese Folgerungen natürlich hilfreich
sein könnten)!
(Okay, ich sehe, bei Euch ist das wirklich eine Definition. Das finde ich
allerdings keine didaktisch gute Vorgehensweise, nichtsdestotrotz:
In der Tat kannst Du versuchen, damit zu arbeiten!!)
> und habe mithilfe
> dieser versucht die Gleichung zu zeigen. Ich habe den
> Ausschnitt meiner Mitschrift und meine Lösungsskizze
> einmal hochgeladen. Wäre es so möglich, wo liegen
> Denkfehler, wie kann ich es besser machen?
>
> Datei-Anhang
Sorry, aber bitte: Abtippen. Die Mitschrift ist ja noch gut lesbar (die
Aussagen mit den Produktdarstellungen findest Du auch in dem erwähnten
Buch - etwa Satz 3.3 und Definition 3.12).
Aber Dein Lösungsansatz: Da habe ich keine Lust, das entziffern zu
wollen.
Zudem: Wie Du "Bilder" einfügen kannst, das habe ich erst vor kurzem
hier (klick!) erläutert.
Ansonsten - wie gesagt: https://matheraum.de/mm
Du musst sowieso irgendwann Latex lernen, das ist so eine gute
Vorbereitung dafür...
Gruß,
Marcel
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