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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 13.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei R ein Integritätsbereich.
Zeigen Sie, dass R genau dann faktoriell ist, wenn jede Nichteinheit r [mm] \not= [/mm] 0 in R von einem Primelement geteilt wird und jede aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär wird. |
Hallo, habe mich an dieser Aufgabe versucht. Wäre die so in Ordnung? 
[mm] \Rightarrow
[/mm]
R faktoriell [mm] \Rightarrow [/mm] gem. Definition jede von 0 verschiedene Nichteinheit aus R lässt sich als Produkt von Primelementen schreiben (wird also von mind. einem Primelement geteilt).
Sei a [mm] \in [/mm] R und (a) das von a erzeugte Hauptideal. Da R faktoriell folgt: [mm] a=p_{1}*p_{2}*...*p_{r}, p_{i} [/mm] prim
Da ein Primelement [mm] p_{i} [/mm] auch ein Primideal [mm] (p_{i}) [/mm] erzeugt, jedes Primideal [mm] (p_{i}) [/mm] auch ein max. Ideal ist und jedes Hauptideal in einem max. Ideal enthalten ist, folgt also, dass jede echt aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär wird.
Also (a) [mm] \subset [/mm] .... [mm] \subset (p_{i})
[/mm]
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Es gelte: [mm] a=b*p_{1}, [/mm] mit [mm] p_{1} [/mm] Primelement und b kein Primelement
[mm] \Rightarrow [/mm] (a) [mm] \subset (p_{1}), (p_{1}) [/mm] max. Ideal und (a) [mm] \subset [/mm] (b). Da jede Kette echt aufsteigender Hauptideale stationär wird, muss gelten:
Fall 1: (b) max. Ideal oder
Fall 2: (b) [mm] \subset (p_{1}) [/mm] oder
Fall 3: (b) [mm] \subset (p_{2}) [/mm] mit [mm] (p_{2}) [/mm] max. Ideal
Fall 1: Da b jedoch kein Primelement [mm] \Rightarrow [/mm] (b) kein Primideal [mm] \Rightarrow [/mm] (b) kein max. Ideal.
Fall 2,3: Also muss gelten (b) [mm] \subset (p_{1}) [/mm] oder (b) [mm] \subset (p_{2}), [/mm] mit [mm] (p_{2}) [/mm] max. Ideal und [mm] p_{2} [/mm] Primelement.
Also [mm] b=p_{1}*c [/mm] oder [mm] b=p_{2}*d \Rightarrow [/mm] b auch durch Primelement teilbar.
Nach endlicher Anwendung des obigen Schemas erhalten wir: [mm] a=p_{1}*p_{2}*...*p_{r}, [/mm] mit [mm] p_{i} [/mm] prim
[mm] \Rightarrow [/mm] R faktoriell
LG,
DrRiese
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Hey,
> Sei R ein Integritätsbereich.
>
> Zeigen Sie, dass R genau dann faktoriell ist, wenn jede
> Nichteinheit r [mm]\not=[/mm] 0 in R von einem Primelement geteilt
> wird und jede aufsteigende Kette von Hauptidealen
> stationär wird.
> Hallo, habe mich an dieser Aufgabe versucht. Wäre die so
> in Ordnung?
Als erstes solltest du vielleicht verraten, wie ihr faktoriell definiert habt...
Jede von Null verschiedene Nichteinheit lässt sich als endliches Produkt von Primelementen schreiben?
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> R faktoriell [mm]\Rightarrow[/mm] gem. Definition jede von 0
> verschiedene Nichteinheit aus R lässt sich als Produkt von
> Primelementen schreiben (wird also von mind. einem
> Primelement geteilt).
> Sei a [mm]\in[/mm] R und (a) das von a erzeugte Hauptideal. Da R
> faktoriell folgt: [mm]a=p_{1}*p_{2}*...*p_{r}, p_{i}[/mm] prim
>
> Da ein Primelement [mm]p_{i}[/mm] auch ein Primideal [mm](p_{i})[/mm]
> erzeugt, jedes Primideal [mm](p_{i})[/mm] auch ein max. Ideal ist
Moment! Seit wann ist jedes Primideal maximal?
Gegenbeispiel:
[mm] $\langle [/mm] x [mm] \rangle \subseteq \IZ[x]$ [/mm] ist ein Primideal, da $x [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] prim ist, aber kein maximales Ideal.
> und jedes Hauptideal in einem max. Ideal enthalten ist,
> folgt also, dass jede echt aufsteigende Kette von
> Hauptidealen stationär wird.
Das seh ich hier noch nicht.
Wir werden bei aufsteigenden Ketten irgendwann bei einem maximalen Ideal ankommen; aber ggf. nicht nach endlich vielen Schritten. Insbesondere musst du benutzen, dass sich jede von Null verschiedene Nichteinheit als endliches Produkt von Primelementen schreiben lässt.
> Also (a) [mm]\subset[/mm] .... [mm]\subset (p_{i})[/mm]
Nicht jede Kette, die in $(a)$ startet, muss in [mm] $(p_i)$ [/mm] enden...
> [mm]\Leftarrow[/mm]
>
> Es gelte: [mm]a=b*p_{1},[/mm] mit [mm]p_{1}[/mm] Primelement und b kein
> Primelement
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a) [mm]\subset (p_{1}), (p_{1})[/mm] max. Ideal
Wie oben: [mm] $(p_1)$ [/mm] ist nicht zwingend maximal.
> und (a) [mm]\subset[/mm] (b). Da jede Kette echt aufsteigender
> Hauptideale stationär wird, muss gelten:
> Fall 1: (b) max. Ideal oder
> Fall 2: (b) [mm]\subset (p_{1})[/mm] oder
> Fall 3: (b) [mm]\subset (p_{2})[/mm] mit [mm](p_{2})[/mm] max. Ideal
Auch das noch weiter begründen. Also zeige explizit: Wenn wir eine beliebige Kette von Hauptidealen haben, die mit $(b)$ startet und stationär wird, dann kann diese so verlängert werden, dass sie in $(p)$ für ein Primelement $p$ endet.
Das sieht richtig aus, muss aber noch ausgeführt und begründet werden.
> Fall 1: Da b jedoch kein Primelement [mm]\Rightarrow[/mm] (b) kein
> Primideal [mm]\Rightarrow[/mm] (b) kein max. Ideal.
>
> Fall 2,3: Also muss gelten (b) [mm]\subset (p_{1})[/mm] oder (b)
> [mm]\subset (p_{2}),[/mm] mit [mm](p_{2})[/mm] max. Ideal und [mm]p_{2}[/mm]
> Primelement.
Auch hier wieder: [mm] $(p_2)$ [/mm] ist im Allgemeinen kein maximales Ideal - aber brauchst du das überhaupt?
> Also [mm]b=p_{1}*c[/mm] oder [mm]b=p_{2}*d \Rightarrow[/mm] b auch durch
> Primelement teilbar.
>
> Nach endlicher Anwendung des obigen Schemas erhalten wir:
> [mm]a=p_{1}*p_{2}*...*p_{r},[/mm] mit [mm]p_{i}[/mm] prim
> [mm]\Rightarrow[/mm] R faktoriell
Warum terminiert das Verfahren nach endlich vielen Schritten?
Also warum kann es nicht unendlich so weiter gehen, sodass wir $a$ also faktorisiert kriegen; aber nicht in ein endliches Produkt?
> LG,
> DrRiese
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 14.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hey, danke für die Antwort
Also "faktorieller Ring" haben wir wie folgt definiert:
Ein Integritätsbereich R heißt faktoriell, wenn sich jede von Null verschiedene Nichteinheit aus R als Produkt von Primelementen schreiben lässt.
Ja, bzgl. endlich oder unendlich gibt die Definition nicht viel her...
Achso, ich dachte jedes Primideal wäre maximal ^^ Hm, in welchem Ideal ist denn (x) [mm] \in \IZ[x] [/mm] enthalten? Gilt (x) [mm] \subset [/mm] (1) [mm] \subset \IZ[x]? [/mm] Und wo wäre da der Unterschied zu [mm] \IQ[x] [/mm] oder [mm] \IR[x]?
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
R faktoriell $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ gem. Definition jede von 0 verschiedene Nichteinheit aus R lässt sich als Produkt von Primelementen schreiben (wird also von mind. einem Primelement geteilt).
Sei a [mm] \in [/mm] R und (a) das von a erzeugte Hauptideal. Da R faktoriell folgt: [mm] a=\produkt_{i=1}^{n}p_{i}, [/mm] ( [mm] p_{i} [/mm] prim )
Betrachten wir die Anzahl der Hauptideale in der (a) enthalten ist.
Wenn gilt (a) [mm] \subset [/mm] (b) [mm] \Rightarrow [/mm] b|a, dann können in der Darstellung von b nur die irreduziblen Elemente von a auftauchen. Und davon gibt es endlich viele. Also kann keine unendlich lange echt aufsteigende Kette von Hauptidealen existieren, in dem (a) enthalten ist [mm] \Rightarrow [/mm] Kette wird stationär
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Es gelte a = [mm] b*p_{1} (p_{1} [/mm] prim).
Wenn gilt b eine Einheit, dann R faktoriell.
Ansonsten wird b auch von einem Primelement [mm] p_{2} [/mm] geteilt, mit [mm] b=c*p_{2} [/mm] und es gelte und (a) [mm] \subset [/mm] (b) [mm] \subset [/mm] (c) [mm] \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] (x), (x) stationär.
Wenn gilt [mm] \exists p_{n} [/mm] prim: [mm] x=y*p_{n}, [/mm] dann würde folgen: (x) [mm] \subset [/mm] (y)
Aber da die echt aufsteigende Kette der Hauptideale bei (x) stationär wird muss gelten, dass y eine Einheit ist. Also a = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p_{i} \Rightarrow [/mm] R faktoriell.
Wäre das so i.O?
LG
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Sieht schon viel schöner aus.
Du brauchst auf jeden Fall, dass im faktoriellen Ring das Produkt endlich ist; das siehst du ja auch bei deiner Argumentation, warum dein $a$ nur endlich viele Teiler hat, also nur in endlich vielen Hauptidealen enthalten ist.
Dann brauchst du für folgende Aussage
"Wenn $(x) = (y)$, dann gibt es eine Einheit $e$ mit $ex = y$."
unbedingt, dass dein Ring ein Bereich ist.
Wegen [mm] $\IZ[x]$: [/mm] Ja, das Ideal $(1)$ enthält natürlich das Ideal $(x)$, aber da $(1)$ bereits der ganze Ring ist, gilt das nicht.
In diesem Fall gilt zum Beispiel $(x) [mm] \subsetneqq [/mm] (x,2) [mm] \subsetneqq \IZ[x]$.
[/mm]
Als Hauptideal können wir nichts größeres als $(x)$ bauen (außer den ganzen Ring), aber es sagt ja keiner, dass maximale Ideale Hauptideale sein müssen. :)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Sa 14.12.2013 | | Autor: | DrRiese |
Super, danke
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