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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe, und H,G [mm] \subset [/mm] G zwei Normalteiler von G.
Falls beide G/H und G/K abelsche Gruppen sind, zeige, dass G/H [mm] \cap [/mm] K auch abelsch ist. |
Hallo alle zusammen,
ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe.
Hier zunächst einmal meine Lösung:
Da H,K Normalteiler, so ist auch H [mm] \cap [/mm] K normalteiler von G.
sei nun [mm] \overline{g}_{1},\overline{g}_{2} \in [/mm] G/H [mm] \cap [/mm] K mit
[mm] \overline{g}_{1}=g_{1}H \cap [/mm] K und [mm] \overline{g}_{2}=g_{2}H \cap [/mm] K bel. gegeben.
dann wissen wir , es gibt [mm] g_{1}' ,g_{2}' \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K, s.d.
[mm] \overline{g}_{1}=g_{1}g_{1}' [/mm] und [mm] \overline{g}_{2}=g_{2}g_{2}'
[/mm]
dann gilt:
[mm] \overline{g}_{1} \overline{g}_{2} [/mm] = [mm] g_{1}g_{1}' g_{2}g_{2}'
[/mm]
= [mm] g_{2}g_{2}' g_{1}g_{1}' [/mm] = [mm] \overline{g}_{2} \overline{g}_{1}
[/mm]
denn [mm] g_{1}g_{1}' [/mm] liegt in G/H und G/K, welche abelsch sind. analog [mm] g_{2}g_{2}'
[/mm]
somit wäre gezeigt, dass G/H [mm] \cap [/mm] K auch abelsch ist.
Ist das so ein korrekter Beweis?
Ich bin mir so unsicher, da mir dieser Beweis sehr kurz erscheint und weil zusätzlich andere wohl einen anderen Weg gewählt haben.
Ich würde mich über eure Rückmeldung sehr freuen.
Viele Grüße
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Wisst ihr nicht, ob meine Lösung richtig ist?
Ich sag mal so, der andere Lösungsweg, den ich gesehen habe war, einen Homomorphismus zu definieren, mit dessen Hilfe man die kommutativität zeigen konnte.
Nur habe ich den nicht so ganz verstanden.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wisst ihr nicht, ob meine Lösung richtig ist?
Hab doch etwas mehr Geduld 
> Ich sag mal so, der andere Lösungsweg, den ich gesehen
> habe war, einen Homomorphismus zu definieren, mit dessen
> Hilfe man die kommutativität zeigen konnte.
> Nur habe ich den nicht so ganz verstanden.
Ich vermute mal, du nimmst den kanonischen Homomorphismus $G [mm] \to [/mm] G/H [mm] \times [/mm] G/K$ mit $g [mm] \mapsto [/mm] (g H, g K)$ und zeigst, dass der Kern gerade $H [mm] \cap [/mm] K$ ist, womit $G / (H [mm] \cap [/mm] K)$ nach dem Homomorphiesatz isomorph zu einer Untergruppe der abelschen Gruppe $G/H [mm] \times [/mm] G/K$ ist.
Was genau verstehst du daran nicht?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G eine Gruppe, und H,G [mm]\subset[/mm] G zwei Normalteiler von
> G.
> Falls beide G/H und G/K abelsche Gruppen sind, zeige, dass
> G/H [mm]\cap[/mm] K auch abelsch ist.
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe.
> Hier zunächst einmal meine Lösung:
>
> Da H,K Normalteiler, so ist auch H [mm]\cap[/mm] K normalteiler von
> G.
Ja.
> sei nun [mm]\overline{g}_{1},\overline{g}_{2} \in[/mm] G/H [mm]\cap[/mm] K
> mit
> [mm]\overline{g}_{1}=g_{1}H \cap[/mm] K und [mm]\overline{g}_{2}=g_{2}H \cap[/mm]
> K bel. gegeben.
>
> dann wissen wir , es gibt [mm]g_{1}' ,g_{2}' \in[/mm] H [mm]\cap[/mm] K,
> s.d.
> [mm]\overline{g}_{1}=g_{1}g_{1}'[/mm] und
> [mm]\overline{g}_{2}=g_{2}g_{2}'[/mm]
Nein? Es sind ja [mm] $g_1 g_1'$ [/mm] und [mm] $g_2 g_2'$ [/mm] Elemente aus $G$, waehrend [mm] $\overline{g}_1, \overline{g}_2$ [/mm] Aequivalenzklassen von Elementen von $G$ sind.
> dann gilt:
>
> [mm]\overline{g}_{1} \overline{g}_{2}[/mm] = [mm]g_{1}g_{1}' g_{2}g_{2}'[/mm]
>
> = [mm]g_{2}g_{2}' g_{1}g_{1}'[/mm] = [mm]\overline{g}_{2} \overline{g}_{1}[/mm]
>
> denn [mm]g_{1}g_{1}'[/mm] liegt in G/H und G/K, welche abelsch sind.
> analog [mm]g_{2}g_{2}'[/mm]
Nein, so geht das nicht. Das macht so ueberhaupt keinen Sinn.
Geh doch mal so vor:
du hast zwei Elemente [mm] $g_1, g_2 \in [/mm] G$: dann ist [mm] $(g_1 [/mm] (H [mm] \cap [/mm] K)) [mm] (g_2 [/mm] (H [mm] \cap [/mm] K)) = [mm] (g_2 [/mm] (H [mm] \cap [/mm] K)) [mm] (g_1 [/mm] (H [mm] \cap [/mm] K))$ aequivalent zu [mm] $g_1 g_2 g_1^{-1} g_2^{-1} \in [/mm] H [mm] \cap [/mm] K$ (warum?). Jetzt ueberleg dir, dass aus $G/K$ und $G/H$ abelsch [mm] $g_1 g_2 g_1^{-1} g_2^{-1} \in [/mm] K$ bzw. [mm] $\in [/mm] H$ folgt.
LG Felix
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vielen Dank für die hilfreichen tipps! Es war danach nur noch ein kinderspeil^^.
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