Faire Entsch. - unfaire Münze < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Wir haben eine unfaire M ̈nze gegeben, bei der mit Wahrscheinlichkeit p das Wurfergebnis Zahl auftritt und mit Wahrscheinlichkeit (1 − p) das Ergebnis Kopf, wobei 0 < p < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gilt. Um mit dieser Münze zu einer fairen Entscheidung zu kommen, verwenden wir folgenden Algorithmus:
do
w1 = Werfe Münze
w2 = Werfe Münze
while (w1 == w2)
if ( w1 == Kopf )
return "ja
else
return "nein
(a) Zeigen Sie, dass fü̈r die Ausgabe des Algorithmus gilt:
Pr(Ausgabe ja) = Pr(Ausgabe nein) [mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
(b) Bestimmen Sie die erwartete Laufzeit des Algorithmus!
|
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich noch ein paar Fragen:
zu (b):
Die Laufzeit würde ich versuchen ausdrücken, indem ich mir erstmal die Wahrscheinlichkeit berechne, mit der die Schleife abbricht, d.h. wenn entweder ZZ oder KK eintritt.
Die Wahrscheinlichkeit wäre dann, für [mm] Pr(KK)=(1-p)^{2} [/mm] und für [mm] Pr(ZZ)=p^{2}.
[/mm]
Zusammen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit: Pr(KK oder ZZ) = [mm] (1-p)^{2} +p^{2}.
[/mm]
D.h. wir suchen die erwarte Anzahl an Würfen bis zum ersten Erfolg. Deshalb würde ich die geometrische Verteilung unterstellen und damit wäre der Erwartungswert:
E(x) = [mm] \bruch{1}{Pr(KK oder ZZ)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-p)^{2} +p^{2}}
[/mm]
und damit hätte ich die erwartete Laufzeit. Ist das richtig?
zu (a):
Bei diesem Aufgabenteil habe ich ein logisches Problem.
Wenn ich den Ausgang KK mit einer anderen Wahrscheinlichkeit als ZZ bekomme, dann ist doch die Aussage, dass "ja" und "nein" mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zurückgegeben werden, doch ein Widerspruch. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Aufgabe nur hier gepostet.
MFG
Alexander
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 18.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Wir haben eine unfaire M ̈nze gegeben, bei der mit
> Wahrscheinlichkeit p das Wurfergebnis Zahl auftritt und mit
> Wahrscheinlichkeit (1 − p) das Ergebnis Kopf, wobei 0
> < p < [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gilt. Um mit dieser Münze zu einer
> fairen Entscheidung zu kommen, verwenden wir folgenden
> Algorithmus:
>
> do
> w1 = Werfe Münze
> w2 = Werfe Münze
> while (w1 == w2)
>
> if ( w1 == Kopf )
> return "ja“
> else
> return "nein“
>
> (a) Zeigen Sie, dass fü̈r die Ausgabe des Algorithmus
> gilt:
> Pr(Ausgabe ja“) = Pr(Ausgabe
> nein“) [mm]=\bruch{1}{2}[/mm]
> (b) Bestimmen Sie die erwartete Laufzeit des Algorithmus!
>
> Hallo,
>
> zu dieser Aufgabe habe ich noch ein paar Fragen:
>
> zu (b):
>
> Die Laufzeit würde ich versuchen ausdrücken, indem ich mir
> erstmal die Wahrscheinlichkeit berechne, mit der die
> Schleife abbricht, d.h. wenn entweder ZZ oder KK eintritt.
>
> Die Wahrscheinlichkeit wäre dann, für [mm]Pr(KK)=(1-p)^{2}[/mm] und
> für [mm]Pr(ZZ)=p^{2}.[/mm]
> Zusammen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit: Pr(KK oder
> ZZ) = [mm](1-p)^{2} +p^{2}.[/mm]
>
> D.h. wir suchen die erwarte Anzahl an Würfen bis zum ersten
> Erfolg. Deshalb würde ich die geometrische Verteilung
> unterstellen und damit wäre der Erwartungswert:
>
> E(x) = [mm]\bruch{1}{Pr(KK oder ZZ)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-p)^{2} +p^{2}}[/mm]
>
> und damit hätte ich die erwartete Laufzeit. Ist das
> richtig?
>
> zu (a):
>
> Bei diesem Aufgabenteil habe ich ein logisches Problem.
Ja. Die Loop-while Schleife wird immer wieder erneut durchlaufen so lange der erste und zweite Wurf gleich sind.
Die Schleife wird nur verlassen, wenn die Wurffolge KZ oder ZK lautet.
Die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Wurffolgen beträgt p(1-p) bzw. (1-p)p und ist somit für beide gleich.
Gruß Abakus
> Wenn ich den Ausgang KK mit einer anderen
> Wahrscheinlichkeit als ZZ bekomme, dann ist doch die
> Aussage, dass "ja" und "nein" mit der gleichen
> Wahrscheinlichkeit zurückgegeben werden, doch ein
> Widerspruch. Kann mir jemand helfen?
>
> Ich habe diese Aufgabe nur hier gepostet.
>
> MFG
> Alexander
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mi 18.02.2009 | | Autor: | alexmart |
Hallo Abakus,
danke ich sehe es gerade. Wiedermal ein dummer Leichtsinnsfehler.
Natürlich stimmt dann das Ergebnis von (a) auch nicht, wobei mir da der Ansatz stimmig scheint.
MFG
Alexander
|
|
|
|
