F'(x)=0 <=> F konstant < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien X,Y Banachräume, U [mm] \subset [/mm] X offen, [mm] D_{r}(x_{0})=\{x \in X|d(x_{0},x) \le r \} \subset [/mm] U und F: U [mm] \to [/mm] Y total differenzierbar.
Zeige:
Gilt [mm] F'(x_{0})=0 [/mm] für alle x [mm] \in D_{r}(x_{0}), [/mm] so is F auf [mm] D_{r}(x_{0}) [/mm] konstant.
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Erstmal zur Aufgabenstellung:
Mit F' ist die normale (also nicht die totale) Ableitung gemeint, oder?
Also, zu meinem noch etwas spärlichen Ansatz:
F' ist ja eine Jacobimatrix von unbekannter Größe. F'=0 müsste dann bedeuten, dass alle Richtungsableitungen von F gleich 0 sind!?
Die Ableitungen werden aber nur 0, wenn bereits keine relavante Variable mehr in der Funktion steht (zB (5)'=0 aber(6x)'=6), woraus schon folgt dass im Funktionsterm keine Veränderlichen auftauchen. Also ist die Funktion konstant.
(Oder bedeutet F'=0 dass die Jacobimatrix weder positiv noch negativ definit ist und man deswegen annehmen sollte, dass alle Unterdeterminaten =0 sind?)
Das ganze ist auf jeden Fall alles reichlich unformal und wahrscheinlich nichtmal richtig. Kann mir vllt jemand Tipps geben? :)
PS: Mehr als "=>" muss ich nicht zeigen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 So 20.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Es seien X,Y Banachräume, U [mm]\subset[/mm] X offen,
> [mm]D_{r}(x_{0})=\{x \in X|d(x_{0},x) \le r \} \subset[/mm] U und F:
> U [mm]\to[/mm] Y total differenzierbar.
>
> Zeige:
> Gilt [mm]F'(x_{0})=0[/mm] für alle x [mm]\in D_{r}(x_{0}),[/mm] so is F auf
> [mm]D_{r}(x_{0})[/mm] konstant.
>
> Erstmal zur Aufgabenstellung:
> Mit F' ist die normale (also nicht die totale) Ableitung
> gemeint, oder?
>
Welche "normale" Ableitung? Ich glaube schon, dass das totale Differential gemeint ist.
> Also, zu meinem noch etwas spärlichen Ansatz:
> F' ist ja eine Jacobimatrix von unbekannter Größe. F'=0
> müsste dann bedeuten, dass alle Richtungsableitungen von F
> gleich 0 sind!?
> Die Ableitungen werden aber nur 0, wenn bereits keine
> relavante Variable mehr in der Funktion steht (zB (5)'=0
> aber(6x)'=6), woraus schon folgt dass im Funktionsterm
> keine Veränderlichen auftauchen. Also ist die Funktion
> konstant.
Wenn du das so angehst (also mit Richtungsableitungen), dann führe das lieber auf den eindimensional Fall zurück, also: Da die Richtungsableitung Null ist, ist die Funktion in diese Richtung konstant (je nachdem was ihr in der Vorlesung hattet, müsstest du diesen Schritt Begründen). Und wenn sie in alle Richtungen konstant ist, dann... ja, dann ist sie konstant ^^
Eine andere und einfachere Möglichkeit wäre es über den Mittelwertsatz zu gehen, aber das geht nur, falls ihr ihn schon hattet.
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> (Oder bedeutet F'=0 dass die Jacobimatrix weder positiv
> noch negativ definit ist und man deswegen annehmen sollte,
> dass alle Unterdeterminaten =0 sind?)
Nein, bedeutet es nicht.
>
> Das ganze ist auf jeden Fall alles reichlich unformal und
> wahrscheinlich nichtmal richtig. Kann mir vllt jemand Tipps
> geben? :)
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>
> PS: Mehr als "=>" muss ich nicht zeigen, oder?
>
Laut Aufgabenstellung nicht, aber diese Richtung ist dann eh trivial.
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