F \in R:Stetigkeit in Punkten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Bei dieser Frage weiß ich nicht wie ich anfangen muss...
R sind ja die Treppenfunktionen...ich kann mir das schon vorstellen,aber ich weiß nicht wie man da irgendwas beweisen soll?
Es sei f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] definiert durch
f(x):=0 falls x irrational und
d(x):= 1/q für x=p/q, wobei p [mm] \in \IN_0 [/mm] und q [mm] \in \IN [/mm] teilerfremd.
a) Zeige , dass f [mm] \in R([0,1],\IR) [/mm] gilt. In welchen Punkten ist f stetig
b) Berechne [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) dx}
Meine Idee,war zu zeigen, dass alle Rieman Integrale auch Integrale nach den Treppenfunktionen sind, also dann eben f [mm] \in R([0,1],\IR) [/mm] gilt. Aber wie macht man das, oder geht das überhaupt?
Grüße
Webranger
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hmm. Also soviel ich weiß ist R nicht die Menge der Treppenfunktionen sondern die Menge der integrierbaren Funktionen....genau sagen kann ich das aber nicht, da ich z.Z. kein Skript zur Hand hab. Die Aufgabe kommt mir bekannt vor, die Lösung wird 0 sein 
Wie ich damals daran gekommen bin..... [mm] \limes_{q\rightarrow\infty} \bruch{1}{q} [/mm] = 0 war da irgendwie wichtig....aber ich weiß es leider nicht wirklich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Do 27.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also ich nehme wie Matheviertelgott an, dass [m] R([0,1], \mathbb{R})[/m] die menge der riemann-integrierbaren-funktionen und nicht die menge der treppenfunktion, da das hier gegebene $f$ unendlich viele verschiedene werte annimmt und somit bestimmt keine treppenfunktion ist.
> Es sei f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] definiert durch
> f(x):=0 falls x irrational und
> d(x):= 1/q für x=p/q, wobei p [mm]\in \IN_0[/mm] und q [mm]\in \IN[/mm]
> teilerfremd.
>
> a) Zeige , dass f [mm]\in R([0,1],\IR)[/mm] gilt. In welchen Punkten
> ist f stetig
der tipp mit der stetigekeit ist hilfreich beim berweis der integrierbarkeit. ihr hattet bestimmt einen satz wie: $f$ ist auf einer kompakten menge riemann-integrierbar, wenn es beschränkt ist und menge der unstetigkeitsstellen eine [mm] $\lambda$-nullmenge [/mm] sind, wobei [mm] $\lambda$ [/mm] das lebesgue-maß bezeichne.
nun kannst du z.b. zeigen, dass $f$ in allen irrationalen punkten stetig ist: sei [mm] $x_0$ [/mm] ein belibiger irratioanler punkt in $[0,1]$. und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, dann gibt es ein $n [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] so dass [m] \frac{1}{n} < \varepsilon [/m]. nun mache die klar, dass es nur endlich viele punkte $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gibt für die gilt $f(x) [mm] \geq \frac{1}{n}$. [/mm] also kann man ein positives [mm] $\delta$ [/mm] wählen, so dass für $x$ in dieser [mm] $\delta$-umgebung [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] gilt [m] |f(x_0) - f(x)| = |0 - f(x)| = f(x) < \frac{1}{n} < \varepsilon [/m], womit die stetigkeit in allen irratioaneln punkten gezeigt wäre. also ist die menge der unstetigkeitspunkte $U$ eine teilmenge der rationalen zahlen, also $U [mm] \subset \mathbb{Q} \cap [/mm] [0,1]$ und da teilmengen von nullmengen stets lebesgue-messbar sind und wegen der monotonie des maßes gilt dann [m] \lambda(U) \leq (\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0 [/m] und $f$ ist somit nur auf einer lebegue-nullmenge unstetig und - da es auch die anderen vorrausstzungen des oben zitierten satzes erfüllt - riemann-integrierbar!
> b) Berechne [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {f(x) dx}
unter den selben bedingungen wei oben stimmen riemann- und lebesgue-integral überein und - da $f$ [mm] $\lambda$-f.ü. [/mm] null ist, ist auch das integral null.
das muss man alles natürlich noch etwas ausführlicher begründen. du kannst ja deine lösung hier rein stellen, wenn du sie ausgearbeitet hat, dann wird sich das bestimmt jemand anschauen! falls noch fragen aufkommen kannst du diesehier gerne stellen.
grüße
andreas
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