FF mod 11 = 0... hausgemacht < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mo 13.11.2006 | | Autor: | gregsn |
Basierend auf der Erkenntnis, dass 9999 durch 11 teilbar ist, hexFFFFFFFF im HEXsystem durch hex11 etc, habe ich mir folgende Formel zusammengebaut:
[mm]
$b^{ck}-1 \equiv 0 (mod \sum_{i=0}^{c-1} b^i)$ mit $b, k \in \mathbb{N}_{0}, c \in \mathbb{N}$
[/mm]
Ist diese Formel bekannt, bzw. welchen Namen trägt sie?
Vielen Dank, Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:36 Di 14.11.2006 | | Autor: | moudi |
> Basierend auf der Erkenntnis, dass 9999 durch 11 teilbar
> ist, hexFFFFFFFF im HEXsystem durch hex11 etc, habe ich mir
> folgende Formel zusammengebaut:
>
> [mm]
$b^{ck}-1 \equiv 0 (mod \sum_{i=0}^{c-1} b^i)$ mit $b, k \in \mathbb{N}_{0}, c \in \mathbb{N}$
[/mm]
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> Ist diese Formel bekannt, bzw. welchen Namen trägt sie?
Hallo Sebastian
Die rechte Seite ist eine geometrische Reihe: [mm] $\sum_{i=0}^{c-1} b^i=b^c-1$.
[/mm]
Dass [mm] $(b^c)^k-1$ [/mm] durch [mm] $b^c-1$ [/mm] teilbar ist, ist ein alter Hut, das folgt allgemein
aus der Tatsache, dass
[mm] $(x^k-y^k):(x-y)=x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^2+\dots+xy^{k-2}+y^{k-1}$ [/mm] mit [mm] $x=b^c$ [/mm] und $y=1$.
mfg Moudi
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> Vielen Dank, Sebastian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 17:31 Di 14.11.2006 | | Autor: | gregsn |
laut
http://wwwmath.uni-paderborn.de/~mathkit/Inhalte/Reihen/data/manifest11/geometrisch.html
wäre das richtig:
[mm] $ \sum_{i=0}^{c-1} b^i=\bruch{1-b^c}{1-b} $ [/mm]
aber da [mm] $ b^c-1 $ [/mm] ein Teiler der linken Seite ist, wie schon richtig gezeigt, muss [mm] $ \bruch{1-b^c}{1-b} $ [/mm] auch ein Teiler sein, da man den Nenner wohl getrost ignorieren kann wenn dieser eine ganze Zahl ist.
Ich glaube ich habs verstanden.
Danke!
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