Extrremwertaufgabe < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 24.06.2007 | | Autor: | mac2789 |
| Aufgabe | Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel für seine Pferde anlegen. Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezäunt werden . Der zur Verfügung stehende Zaun ist Z m lang .
Wie muss der Bauer die Koppel anlegen , damit sie eine möglichst große Weidefläche hat !
Wie groß ist die Weidefläche dieser Koppel ?
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ich komme hier nicht weiter und ich finde auch keinen ansatz ...
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Hallo mac,
Deine Flächenfunktion ist:
[mm]A_{(x,y)} = x*y[/mm] (Fläche der rechteckigen Koppel)
Deine Nebenbedingung ist:
[mm]x+2*y = Z[/mm] also z. B.: [mm]x=Z-2*y[/mm]
Das kann man in die Formel für A einsetzen, so dass der Flächeninhalt nur noch von einer Variablen abhängt:
[mm]A_{(y)} = (Z-2*y)*y = -2*y^{2}+Z*y[/mm]
Jetzt kann man nach dieser einen Variablen differenzieren und die erste Ableitung gleich Null setzen, da man ja einen Extremwert sucht:
[mm]A_{(y)}' = -4*y+Z = 0[/mm]
[mm]y = \bruch{Z}{4}[/mm]
Da die 2. Ableitung negativ ist, A'' = -4, handelt es sich um ein Maximum.
Die beiden Seiten y, die senkrecht zum Flussufer verlaufen, hat man jetzt also. Jetzt fehlt noch die zum Flußufer parallele Seite x:
[mm]x=Z-2*y = Z - 2*\bruch{Z}{4}= \bruch{Z}{2}[/mm]
Für diese Werte wird die Weidefläche maximal. Sie beträgt dann:
[mm]A_{(x,y)} = x*y = \bruch{Z}{2}*\bruch{Z}{4} = \bruch{Z^{2}}{8}[/mm]
LG, Martinius
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