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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 So 07.09.2008 | | Autor: | Airgin |
| Aufgabe | a.)Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt von 1dm² hat das größte Volumen?
b.)Welches oben offene zylindrische Gefäß mit 1 Liter Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?
c.)Welcher oben offene Zylinder hat bei gegebener Oberfläche das größte Volumen? |
Hallo!
Bei der a.)-Aufgabe und teilweise auch bei der b.)-Aufgabe weiß ich zwar wie ich anfangen soll aber dennoch bekomme ich keine Lösung :(
zu a.):
O (Oberfläche) = 2 [mm] \pi [/mm] r (r+h)
V = [mm] \pi [/mm] r² h
1 = 2 [mm] \pi [/mm] r (r+h)
h = (1/ 2 [mm] \pi [/mm] r) -r
dann setz ich für h ein:
V = [mm] \pi [/mm] r² [(1/ 2 [mm] \pi [/mm] r) -r]
und was muss ich nun machen ?
zur b:
O (Oberfläche) = [mm] \pi [/mm] r (r+h)
V = 1
1 = [mm] \pi [/mm] r² h
h = (1/ [mm] \pi [/mm] r) -r
hier weiß auch nicht mehr weiter :(
und zu c hab ich leider gar keine Ahnung.
lg
Airgin
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> a.)Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt von
> 1dm² hat das größte Volumen?
> b.)Welches oben offene zylindrische Gefäß mit 1 Liter
> Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?
> c.)Welcher oben offene Zylinder hat bei gegebener
> Oberfläche das größte Volumen?
>
> zu a.):
> O (Oberfläche) = 2 [mm]\pi[/mm] r (r+h)
> V = [mm]\pi[/mm] r² h
> 1 = 2 [mm]\pi[/mm] r (r+h)
> h = (1/ 2 [mm]\pi[/mm] r) -r
> dann setz ich für h ein:
> V = [mm]\pi[/mm] r² [(1/ 2 [mm]\pi[/mm] r) -r]
>
> und was muss ich nun machen ?
Hallo,
Du hast nun Deine Zielfunktion, nämlich das Dosenvolumen in Abhängigkeit vom Radius (bei vorgegebener Oberfläche).
Nun mußt Du das maximum dieser Funktion bestimmen in gewohnter Art und Weise.
Du bekommst dann den Radius, für den das Volumen unter den vorgegebenen Bedingungen am größten ist, und wenn Du diesen Radius anschließend bei h einsetzt, liefert Dir dies die zugehörige Höhe.
>
> zur b:
> O (Oberfläche) = [mm]\pi[/mm] r (r+h)
Das stimmt nicht. Das Gefäß soll oben offen sein, besteht also aus Mantel [mm] (2\pi [/mm] rh) und Boden der Dose ( [mm] \pi r^2),
[/mm]
so daß man erhält: [mm] O=2\pi [/mm] rh + [mm] \pi r^2=\pi [/mm] r(2h + r)
> V = 1
> 1 = [mm]\pi[/mm] r² h
> h = (1/ [mm]\pi[/mm] r) -r
Das stimmt ja nun gar nicht. Aus 1= [mm] \pi [/mm] r^2h folgt [mm] h=\bruch{1}{\pi r^2}
[/mm]
Dies kannst Du für h in die Formel für die Oberfläche(=Materialverbrauch) einsetzen.
Von O(r) ist nun das Minimum zu berechnen.
>
> und zu c hab ich leider gar keine Ahnung.
Ich denke, die stellen wir erstmal zurück, bis die anderen fertig sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 07.09.2008 | | Autor: | Airgin |
OK, ich denk ich habs verstehn können. :)
Also:
Um ein Extrema zu bestimmen, muss ich doch die erste Ableitung der Zielfunktion gleich 0 setzen, allerdings kann ich von dieser Funktion die Ableitungen nicht bestimmen, mich stört das "r/2"
V = r/2 - [mm] \pi [/mm] r³
V' = - 3 [mm] \pi [/mm] r² + ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \bruch{r}{2}=\bruch{1}{2}*r
[/mm]
Kannst du jetzt die korrekte Ableitung von
[mm] V(r)=\bruch{r}{2}-\pi*r³ [/mm] bestimmen?
Marius
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