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Hallo,
ich hab grad in der Schule mit dem Thema Extremwertproblemen angefangen. So weit bin ich ganz klar gekommen aber bei der nachsten Aufgabe brauch ich Hilfe:
| Aufgabe | Es sollen zylinderförmige Dosen mit dem Volumen V gergestellt werden. Wie sind r und h zu wählen, damit
a.) die gesamte Naht aus Mantellinie, Deckelrand und Bodenrand minimal wird)
b.) die Oberfläche möglichst klein wird?
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Die Formel für das Volumen ist V= [mm] \pi* r^2*h
[/mm]
Für die Manteloberfläche finde ich nur verschieden Formeln von denen ich nicht weiß welche richtig ist.
Weiter bin ich bis jetzt leider nicht. Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß Malinchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 So 04.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
also die Mantelfläche eines -geraden!- Zylinders (für Fanta-Dosen o.ä., ein schiefer zylinder hätte gravierende nachteile)
[mm] A_{M}= 2*\pi*r*h [/mm]
Grundfläche
[mm] A_{G}= \pi*r^2 [/mm]
und Oberfläche
[mm] A_{O}= A_{M}+ 2*A_{G} [/mm] = [mm] 2*\pi*r*h [/mm] + [mm] 2*\pi*r^2 [/mm]
= [mm] 2*\pi*r*(h+r)
[/mm]
Für die Naht addierst du eben alle genannten Linien.
s. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_%28Geometrie%29
gruß
wolfgang
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Ja, aber bei der a.) muss ich ja ausrechnen wie r und h zu wählen sind, damit die gesamte Naht minimal wird. Dazu muss sich ja die Extrempunkte ausrechnen. Und die Formel die ich hab kann man nicht, oder man kann doch aber ich kann sie nicht, ableiten. Wie mach ich das denn?
Gruß Malinchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 So 04.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Malinchen!
Die Nebenbedingung hast Du mit $V \ = \ [mm] \pi*r^2*h$ [/mm] bereits aufgestellt. Stelle diese Formel nun mal um nach $h \ = \ ...$ .
Wie lautet denn die Formel der Hauptbedingung (Summe aller Nahtlinien) $N \ = \ N(r,h)$ ? In diese Formel musst Du Dein $h \ = \ ...$ aus der Nebenbedingung einsetzen.
Damit hast Du dann Deine Zielfunktion $N(r)_$ , welche nur noch von $r_$ abhängig ist. Für diese Funktion ist $N(r)_$ ist dann die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchzuführen.
Gruß
Loddar
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also ist h dann gleich:
h= [mm] \bruch{V}{\pi*r^2}
[/mm]
Die Summe aller Nahtlinien ist dachte ich ist einfach die Formel für die Mantelfläche... [mm] 2*\pi*r*(h+r) [/mm] aber das kann doch irgendwie gar nicht sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 So 04.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Malinchen!
> also ist h dann gleich: h= [mm]\bruch{V}{\pi*r^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Summe aller Nahtlinien ist dachte ich ist einfach die
> Formel für die Mantelfläche... [mm]2*\pi*r*(h+r)[/mm] aber das kann
> doch irgendwie gar nicht sein?
Das ist hier die falsche Formel ... schließlich ist das eine Fläche, die hier berechnet wird (außerdem ist das bereits die Gesamtoberfläche und nicht nur die Mantelfläche), und keine Länge.
Aber für Aufgabe b.) solltest Du diese Fromel auf jeden Fall behalten.
Hier musst Du den Umfang des Kreises (2-mal) sowie die Höhe des Zylinders addieren.
Gruß
Loddar
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entschuldigung, dass ich so nerve...
aber ich verstehe nicht wieso man zur kreisfläche die man 2-mal nimmt noch h dazu addieren muss.
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> entschuldigung, dass ich so nerve...
> aber ich verstehe nicht wieso man zur kreisfläche
Hallo,
doch nicht zur KreisFLÄCHE!!!!!!!
Zum Kreisumfang.
Es geht doch um Längen.
die man
> 2-mal nimmt noch h dazu addieren muss.
Schau Dir doch mal 'ne Konservenbüchse an!
Was machst Du, wenn Du ein großes Stück Blech hast und daraus eine Büchse basteln möchtest? Du schneidest Dir ein Rechteck aus, biegst es zum Zylinder und "nähst " es zusammen. Wo ist die Naht? An der Seite. Und wenn Du kein Chaot bist, ist sie schon gerade und senkrecht zum noch nicht vorhandenen Boden. Also die Höhe h. Nun mußt Du noch Boden und Deckel anbringen. Also zweimal die Kreisumfänge "annähen".
Gruß v. Angela
P.S.: Basteln aus Papier ist vielleicht praktikabler... Mach es doch mal. Da wird Dir aufgehen, was für Nähte man hat.
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