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| Aufgabe | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat? |
untere Rechteckseite: x
die anderen beiden: y
Soweit ich das richtig habe siehts bisher so aus:
[mm] x=U-2\pi-2y
[/mm]
[mm] 2y=U-2\pi-x
[/mm]
Nur beim Einsetzen kommt x=x raus, bringt also nicht viel!
Was hab ich falsch gemacht und wie gehe ich weiter vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 21.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi dietotenhosen2!
hmm.... da kommt x=x raus, weil es dieselbe gleichung ist...
aber, so wie ich das sehe, ist die gleichung falsch. mit deinen bezeichnungen (untere rechteckseite = x, andere seite = y, d.h. der radius des halbkreises ist x/2) ist der umfang:
[mm]U=\bruch{x}{2}*\pi+x+2y=x*\left(\bruch{\pi}{2}+1\right)+2y[/mm]
dann brauchst du noch die formel für den flächeninhalt:
[mm]A=\left(\bruch{x}{2}\right)^2*\pi*\bruch{1}{2}+xy=x^2*\bruch{\pi}{8}+xy[/mm]
jetzt kannst du den umfang nach einer variablen (zum beispiel y) auflösen und in die formel für den flächeninhalt einsetzen.
du bekommst dann eine funktion [mm]A(x)[/mm] mit einer konstanten [mm]U[/mm].
davon kannst du das minimum berechnen (das x). das y bekommst du über die formel vom umfang. und fertig 
lieben gruß,
Fulla
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