Extremwertproblem < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 26.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Beweisen sie: für alle $x [mm] \in [/mm] [0; [mm] \frac{\pi}{2}]$ [/mm] gilt $sin(x)+cos(x) [mm] \leq \sqrt{2}$ [/mm] |
Man soll das mit einem geeigneten ExtremwertProblem lösen. Kann mir aber da grad nix vorstellen... Wie gehe ich da ran?
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> Beweisen sie: für alle [mm]x \in [0; \frac{\pi}{2}][/mm] gilt
> [mm]sin(x)+cos(x) \leq \sqrt{2}[/mm]
> Man soll das mit einem
> geeigneten ExtremwertProblem lösen. Kann mir aber da grad
> nix vorstellen... Wie gehe ich da ran?
Du hast hier zwei Möglichkeiten: 1. du überlegst es dir graphisch und mit Hilfe der Superposition: d.h. die Summe von sin(x) und cos(x) ist nichts anderes als die Einzelwerte addieren. Beide können maximal 1 werden, daher könnte man denken, der Maximalwert sei 2, aber beide nehmen den Wert 1 niemals beim selben Winkel an, sondern um 90° verschoben. Wenn du dir graphisch beide Kurven zeichnest, siehst du recht schnell die Lösung.
2. Extremwertaufgabge: Du hast eine Funktion f(x)=sin(x)+cos(x) und willst wissen, was ihr maximaler Wert ist, um angebenen zu können, welchen Wert sie niemals überschreitet. Nun, wie bestimmst du Hochpunkte von Funktionen? Wende also dies auf f(x) an und du wirst eine Lösung bekommen, die ebenfalls wie im 1. Fall genau zwischen 0° und 90° liegt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 26.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Einen Extrempunkt findet man in dem man die Funktion ableitet und Null setzt sieht dann so aus:
$f'(x) = cos(x)-sin(x)$
$cos(x)-sin(x) = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] cos(x)=sin(x) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x=arccos(sin(x))$
Nun hab ich aber das Problem, dass ich ja das x isolieren muss, was aber etwas dumm ist, da dies jeweils im Argument der beiden Winkelfunktionen steht. Ich kann natürlich jetzt mit $arccos()$ anwenden, aber wie sieht das dann beim Sinus aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 26.05.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo
cos(x)-sin(x)=0
cos(x)=sin(x) teile durch [mm] cos(x)\not=0
[/mm]
1=tan(x)
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 26.05.2011 | | Autor: | Adamantin |
AHAHAH viel zu kompliziert gedacht, so kommst du natürlich auf keinen grünen Zweig. Fällt dir denn so nicht ein Winkel ein, für den beide Funktionen, also cos und sin, den gleichen Wert annehmen? Wie sind denn beide am Einheitskreis definiert? Wann gehen sozusagen die Strecke auf der x-Achse und die Strecke auf der y-Achse genau ineinander? Das solltest du mit dem Auge und dem Verstand ganz einfach feststellen können, ohne hier die Umkehrfunktion benutzen zu müssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 26.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Einen Extrempunkt findet man in dem man die Funktion ableitet und Null setzt sieht dann so aus:
$ f'(x) = cos(x)-sin(x) $
$ cos(x)-sin(x) = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] cos(x)=sin(x) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x=arccos(sin(x)) $
Nun hab ich aber das Problem, dass ich ja das x isolieren muss, was aber etwas dumm ist, da dies jeweils im Argument der beiden Winkelfunktionen steht. Ich kann natürlich jetzt mit $ arccos() $ anwenden, aber wie sieht das dann beim Sinus aus?
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Hallo, schaue in meine Mitteilung, Steffi
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