Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo zusammen,
es handelt sich um folgende Aufabe:Ein Rechteck mit einem aufgesetzten Halbkreis hat einen Umfang von 6m!Ich soll die max Fensterfläche ermitteln und soweit bin ich gekommen..
Hauptbedingung:
[mm] A=(a*b)+(r/2)^2*(\pi*1/2)
[/mm]
Nebenbedingung:
[mm] U=(2a+2b)+(\pi*d/2)
[/mm]
Bei der Zielfunktion kaomme ich jetzt nicht weiter
Ich muss doch jetzt die Nebenbedinung nach einer Variablen auflösen?
Habe nach b aufgelöst:
[mm] 6=(2a+2b)+(\pi*d/2)
[/mm]
[mm] 6-2b=2a+\pi*d/2-6
[/mm]
[mm] -b=a+\pi*d-3
[/mm]
[mm] b=3-a-\pi*d
[/mm]
ist das so richtig?
danke im voraus.....
|
|
| |
|
Hallo,
bezeichnen wir das Rechteck mit den Seiten a und b (hast du), auf die Seite b wird der Halbkreis aufgesetzt, also ist b der Durchmesser deines Kreises bzw. [mm] \bruch{b}{2} [/mm] der Radius
[mm] A(a,b)=a*b+\bruch{1}{2}*\pi*(\bruch{b}{2})^{2}
[/mm]
jetzt überdenke deine Gleichung für den Umfang, vom Rechteck sind nur drei Seiten zu betrachten
6m=
ein dringende Bitte, die ja schon vorhin geäußert wurde, benutze den Formeleditor, sonst sind Brüche und sonstige Terme sehr schwer zu lesen,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo,
ich benutze den Formeleditor,aber ich leider kommt das wieder so "schlecht" raus :-(
ich habe das jetzt mal so umgesetzt und habe die Nebenbedinung jetzt anch a aufgelöst!
[mm] 6=(2a+2b)+(\pi*b/_2)
[/mm]
[mm] -2a=2b+\pi*b/_2-6
[/mm]
[mm] a=3-b-\pi*b/_2
[/mm]
jetzt habe ich diese fkt!
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast leider einen Hinweis von mir aus der 1. Antwort nicht umgesetzt, wenn du das Fenster baust, so werden beim Rechteck nur drei Seiten beachtet, darauf wird der Halbkreis gesetzt
[mm] 6m=2a+b+\pi*\bruch{b}{2}
[/mm]
stelle jetzt wieder nach a um, dann in A(a,b)= ..... einsetzen, du hast dann nur noch eine Funktion A(b)= ...
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
sorry,
in die Hauptbedinung eingesetzt erhalte ich:
[mm] A(b)=2(3-b-\pi*b/_2)+(\pi*b/_2)
[/mm]
dann werde ich die klammer auflösen kann dann soweit wie möglich zusammenfassen!
kann ich für den Faktor [mm] [2(3-b-\pi*b/_2)] [/mm] nicht die produktregel für die ableitung anwenden?
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo, sortieren wir mal
[mm] A(a,b)=a*b+\bruch{1}{2}*\pi*(\bruch{b}{2})^{2} [/mm]
[mm] A(a,b)=a*b+\bruch{1}{8}*\pi*b^{2}
[/mm]
weiterhin
[mm] 6m=2a+b+\pi\bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] 2a=6-b-\pi\bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] a=3-\bruch{1}{2}b-\bruch{\pi}{4}b
[/mm]
jetzt kannst du in A(a,b) einsetzen
[mm] A(b)=(3-\bruch{1}{2}b-\bruch{\pi}{4}b)*b+\bruch{1}{8}*\pi*b^{2}
[/mm]
[mm] A(b)=3b-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{\pi}{4}b^{2}+\bruch{\pi}{8}b^{2}
[/mm]
[mm] A(b)=3b+(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{8})b^{2}
[/mm]
[mm] A(b)=3b+(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})b^{2}
[/mm]
jetzt führe die Extremwertbetrachtung durch
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Steffi,
du hast doch in diese Fkt eingesetzt:
[mm] A=8a/b)+(b/2)^2*pi*b/_2
[/mm]
wie kommst du auf die fett zu druckender Text ...1/8... (gleich die 2.zeile)
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo, du meinst bestimmt diesen Term
[mm] \bruch{1}{2}*\pi*(\bruch{b}{2})^{2}
[/mm]
der Exponent 2 bezieht sich auf den Zähler b und den Nenner 2
[mm] \bruch{1}{2}*\pi*\bruch{b^{2}}{4}
[/mm]
jetzt erkennst du, wo die 8 im Nenner herkommt,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
hallo Steffi,
danke,habe jetzt verstanden 
aber beim einsetzen in A(b) hast du,glaube ich,einen kleinen fehler gemacht
[mm] A(b)=3b+(-1/2-\pi/4+\pi/8)*b^2
[/mm]
[mm] A(b)=3b+(1/2+\pi/8)*b^2 [/mm] du hast hier [mm] ...-\pi/8
[/mm]
in der zeile davor müsstest du das bestimmt erkennen
gruß starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo, machen wir jetzt etwas Bruchrechnung, dein Problem ist also
[mm] -\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{8}
[/mm]
1. Bruch mit 2 erweitern
[mm] -\bruch{2\pi}{8}+\bruch{\pi}{8}
[/mm]
alles auf einen Bruchstrich
[mm] \bruch{-2\pi+\pi}{8}
[/mm]
[mm] \bruch{-\pi}{8}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo Steffi,
habe jetzt die Extremwerte "berechnet"
[mm] A=(3b+(1/2-\pi/8)*b^2
[/mm]
[mm] A'=6b+(1/2-\pi/8)*b
[/mm]
[mm] 0=6b+(1/2-\pi/8)*b
[/mm]
[mm] 0=6b+1/2b-\pi*b/8
[/mm]
hier komme ich nicht weiter....
danke im voraus
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] A(b)=3b+(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})*b^{2}
[/mm]
wir haben zwei Summanden abzuleiten
3b, die Ableitung lautet 3
[mm] (-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})*b^{2}, [/mm] die Ableitung lautet [mm] 2(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})*b
[/mm]
also
[mm] A'(b)=3+2(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})*b
[/mm]
[mm] A'(b)=3+(-1-\bruch{\pi}{4})*b
[/mm]
jetzt gleich Null setzen und nach b umstellen,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
[mm] b=-3-(-1-\pi/4)?
[/mm]
sieht irgendwie komisch aus!
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo starkurd,
> [mm]b=-3-(-1-\pi/4)?[/mm]
>
> sieht irgendwie komisch aus!
in der Tat, mir schwant Schreckliches, zeige mal deine Umformung her!
Die 3 hast du mit -3 auf die andere Seite gebracht, das ist ok und du hast
[mm] $-3=\left(-1-\frac{\pi}{4}\right)\cdot{}b$
[/mm]
Und da steht doch ein Malzeichen zwischen der Klammer und dem b, wie bekommst du also die Klammer richtigerweise weg und das b isoliert?
Noch ein Tipp: Bringe die Summe in der Klammer mal auf einen Bruchstrich, dann kannst du nachher besser zusammenfassen
>
> gruß
> starkurd
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
[mm] b=-3/(-1-\pi/_4)
[/mm]
wenn das auch falsch ist,dann muss ich wohl die terme alle einzeln "rüberbrigngen"?
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]b=-3/(-1-\pi/_4)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Puh, so gerade noch die Kurve gekriegt 
Nun kürze erst mal eine (-1) weg: [mm] $-1-\frac{\pi}{4}=(-1)\cdot{}\left[1+\frac{\pi}{4}\right]$
[/mm]
Dann erweitern: [mm] $1+\frac{\pi}{4}=\frac{4}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi+4}{4}$
[/mm]
Also [mm] $b=\frac{-3}{-1-\frac{\pi}{4}}=\frac{3}{\frac{\pi+4}{4}}=3\cdot{}\frac{4}{\pi+4}=\frac{12}{\pi+4}$
[/mm]
>
> wenn das auch falsch ist,dann muss ich wohl die terme alle
> einzeln "rüberbrigngen"?
Nein, lieber nicht, so passt es ja!
>
> gruß
> starkurd
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo,
ist es besser ich rechne jetzt b aus,also einen Wert ermitteln oder soll ich diesen bruch "einfach" in die Hauptbedingung einsetzen?
Ganz ehrlich,so als Bruch einzusetzen sieht ziemlich komisch aus!
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo, wichtig sollte sein, du hast den Rechenweg verstanden, jetzt kannst du mit einem Wert für b, der gerundet ist, weiterrechnen, b=1,68m, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
Hallo zusammen,
habe jetzt den Wert in die Zielfkt eingesetzt:
[mm] a=3-1/2*(1,68)-(\pi*1,68/4)
[/mm]
a=0,84
danke für alles und vor allem für euere Geduld mit mir
gruß
starkurd
|
|
|
| |
|
Hallo und Glückwunsch a=0,84m ist korrekt, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 So 08.02.2009 | | Autor: | starkurd |
nochmals vielen vielen dank
und einen schönen abend euch allen........
|
|
|
|
