Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Morgen alle miteinander...
....am Besten ich schildere mal kurz die Aufgabe und meine bisherigen Lösungsversuche:
Jeder Graph dieser Funktion aus [mm] g_{m}, [/mm] die x-Achse sowie Parallelen zur y-Achse durch die entsprechenen Punkte [mm] A_{m} [/mm] und [mm] B_{m} [/mm] begrenzen 2 Dreiecke. Berechnen sie m für den Fall, dass die Summe der Maßzahlen der Flächeninhalte dieser Dreiecke maximal wird.
[mm] g_{m}= [/mm] mx [mm] m,x\in [/mm] R; m>0
[mm] f_{1}= -\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + 4x [mm] x\in [/mm] R
[mm] A_{m} (-\wurzel{12-3m}; -m\wurzel{12-3m})
[/mm]
[mm] B_{m} (\wurzel{12-3m}; m\wurzel{12-3m})
[/mm]
Mein Lösungsansatz für A_(m):
A= [mm] \bruch{ab}{2}
[/mm]
A= [mm] \bruch{a(mx)}{2}
[/mm]
a= [mm] f_{1}= -\bruch{1}{3}x^{3} [/mm] + 4x ?
Oder: a= [mm] A_{m} (-\wurzel{12-3m}; -m\wurzel{12-3m})
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Max |
Verstehe ich das richtig, dass du den Flächeninhalt von dem Dreieck $O(0|0)$, [mm] $P_m(\wurzel{12-3m}|0)$ [/mm] und [mm] $B_m(\wurzel{12-3m}|m\wurzel{12-3m})$ [/mm] maximieren willst?
Dieser Flächeninhalt wäre dann doch:
[mm] $F(m)=\frac{1}{2} \wurzel{12-3m}\cdot m\wurzel{12-3m}=m(12-3m)$
[/mm]
Dann kannst du $F(m)$ maximieren. (Wegen der Symmetrie ist dann auch das andere Dreieck maximal.)
|
|
|
| |
|
Guten Morgen Brackhaus...
...danke für deine Antwort!
Wie kommst du auf den Punkt [mm] P_m(\wurzel{12-3m}|0) [/mm] ?
Ich hätte dann die 1.Ableitung gebildet und die Gleichung 0 gesetzt?! So haben wir bis jetzt Extremwertprobleme in der Schule gelöst!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Max |
Der Punkt [mm] $P_m$ [/mm] wäre der Punkt auf der $x$-Achse direkt unter [mm] $B_m$. [/mm] Ich kann mir halt noch nicht vorstellen über welches Dreieck du sprichst.
Wenn du den Flächeninhalt in Abhängigkeit von $m$ kennst, kannst du natürlich über $F'(m)$ die Extremstellen bestimmen. Du kennst ja die notwendigen und hinreichenden Bedingungen aus dem Unterricht.
Wenn das Dreieck anders liegt, musst du dich noch mal melden - und besser beschreiben.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
Den Flächeninhalt kenne ich nicht, er ist nicht vorgegeben. Die Informationen der Lage der Dreiecke habe ich vom Aufgabenblatt genauso abgeschrieben. Ich denke mal, dass die Dreiecke jeweils durch den Punkt [mm] B_m [/mm] bzw. [mm] A_m [/mm] , der x-Achse und der Funktion [mm] g_m=mx [/mm] eingeschlossen sind! So sehe ich das zumindest, wenn ich mir die Skizze so anschaue und die Aufgabe dazu durchlese!
|
|
|
| |
|
Hallo Sonnenblume,
Vielleicht hilft dir folgende Zeichnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo Karl_Pech
....das ist aber lieb, dass du mir die Skizze geschickt hast, ich hab mir den Graphen auch schon aufgemalt! Ob ich mit [mm] c^{2}= a^{2} \*b^{2} [/mm] weiterkomme? Aber ich muss doch irgenwie ne 1. Ableitung bilden und da so vorgehen wie mit einer Extremstelle, oder?
|
|
|
| |
|
[mm] F(m)=\frac{1}{2} \wurzel{12-3m}\cdot m\wurzel{12-3m}=m(12-3m)
[/mm]
m= -2
A=|-18 FE|
Würde das dann der Skizze von Karl_Pech entsprechen?
|
|
|
| |
|
Hi,
> [mm]F(m)=\frac{1}{2} \wurzel{12-3m}\cdot m\wurzel{12-3m}\textcolor{red}{=}m(12-3m)
[/mm]
Also ich würd' sagen, daß das schon meiner Skizze entspricht, nur verstehe ich die rotgefärbe Gleichung nicht. Ist dort nicht ein [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] verlorengegangen?
Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Hallo,
stimmt das 1/2 ist verlorengegangen! Ich hatte die Gleichung so von Brackhaus übernommen. Dann komme ich auf m=2, aber ich kann keine 2.Ableitung bilden, da das m dann ganz rausfällt! Und so kann ich auch nicht beweisen, dass dadurch der Flächeninhalt maximal ist! Gibt es vielleicht eine andere Rangehensweise?
|
|
|
| |
|
Hi Sonnenblume,
> stimmt das 1/2 ist verlorengegangen! Ich hatte die
> Gleichung so von Brackhaus übernommen. Dann komme ich auf
> m=2, aber ich kann keine 2.Ableitung bilden, da das m dann
> ganz rausfällt! Und so kann ich auch nicht beweisen, dass
> dadurch der Flächeninhalt maximal ist! Gibt es vielleicht
> eine andere Rangehensweise?
Soweit ich das sehen kann, hast Du die Aufgabe gerade eigenständig
gelöst! Gratuliere! 
Denn gerade weil $f''(m) = -3 < 0$ hat die Funktion bei m = 2 ihren Hochpunkt. 
Wieso? Deswegen: $f''(m) = [mm] -3*m^0$ [/mm] und damit $f''(2) = [mm] -3*2^0 [/mm] = -3 < 0$. Q E D
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Hi, wenn das wirklich so ist und es ist ja so, dank deiner Erläuterung, ist es echt cool. War ja gar nicht so schwer, man braucht nur den richtigen Ansatz und ne gute Skizze, wie deine! Dankeschön!!!
Viele Grüße sunflower86
|
|
|
| |
|
Hi ich bins schon wieder!
Ich hab mal ne ganz dumme Frage: Wie bin ich eigentlich auf die 18FE beim Flächeninhalt gekommen? Wo habe ich denn m=2 nur eingesetzt? Bin grad ein wenig verwirrt! :(
|
|
|
| |
|
Hallo sonnenblume,
Du wolltest doch die Fläche des max. rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Und wir hatten doch die Funktion $F(m) = [mm] \bruch{1}{2}m(12-3m)$. [/mm] Aber das sind nicht 18 FE: $F(2) = 6 [mm] \text{ FE}$.
[/mm]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
Ich hab es schon berechnet, es sind 8FE!
A= [mm] \bruch{ab}{2}= \bruch{4 \*4}{2}= [/mm] 8FE! Stimmt mit Zeichnug überein! Danke für die Hilfe, v.a. für die Grafik...einen schönen Abend noch...sunflower86
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 So 06.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
das war keine Frage! Sonnenblume hat sich nur nett bedankt und statt Mitteilung Frage angewählt
Gruss leduart
|
|
|
|
