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| Aufgabe | | Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 12 cm und 8 cm lang. Diesem Dreieck ist ein möglichst großes Rechteck einzuschrieben, von dem zwei Seiten auf den Katheten des Drecks liegen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute. ich hab voll das problem..und in einer woche hab ich klausur..und ich komme nie auf die lösung oder den anstaz...also..bitte helft mir!
Wie löse ich diese Aufgabe?
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Hi, Matheloserin,
es entspricht eigentlich nicht den Forenregeln, einfach eine Aufgabe reinzustellen ohne eigene Lösungsideen!
Aber ich mach' mal 'ne Ausnahme und geb' Dir ein paar Tipps:
Du kannst die Aufgabe z.B. mit Hilfe des Strahlensatzes lösen.
Skizziere Dir das Dreieck so, dass die kürzere Seite AB = 8 als Grundlinie und die längere, also AC=12 als Höhe auftritt; der rechte Winkel liegt dann bei A.
Nun zeichne das Rechteck, indem Du auf BC einen beliebigen Punkt
annimmst.
Du nennst die auf AB liegende Seite des Rechtecks a und die auf AC liegende b.
Dann gilt für die Fläche des Rechtecks: F = a*b.
Nun musst Du mit Hilfe des Vierstreckensatzes (Strahlensatzes) eine Beziehung zwischen den beiden Größen a und b finden (Streckungszentrum C!), bevor Du die Funktion F ableitest, um das Extremum zu finden.
Nun probier's!
mfG!
Zwerglein
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sry, das ich keinen eigenen lösungsvorschlag gemacht hab, ich mbin ganz neu...jetzt weiß ich es ja.
Also...das mit der Zeichnung hatte ich schon, aber dies mit dem strahlensatz zu lösen versteh ich nicht. ich muss ja irgendwie eine verbindung von den seiten des dreiecks zu den seiten des rechtecks aufstellen..und ich will das größte rechteck. dh.
seite a vom rechteck muss 0 kleiner sein als die seite a, die seite darf nicht größer sein als 8cm
dasselbe bei seite b des rechtecks..0 muss kleiner sein als b uund b muss kleiner sein als 12cm.
A= a*b
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Hi, Matheloserin,
(fast) das Wichtigste bei einer Extremwertaufgabe ist die NEBENBEDINGUNG, d.h. den Zusammenhang zu finden zwischen den Variablen.
Deine "Funktion"
A=a*b
enthält ja leider ZWEI Variable, also eine zu viel!
Drum musst Du eine davon durch die andere ausdrücken.
Und dazu kann Dir z.B. der Strahlensatz helfen.
Ich geb' Dir mal noch'n Tipp:
Nenn' die Ecke des Rechtecks, die auf der Seite AC liegt, D und die auf der Seite BC nenne E.
Dann sind die Strecken DE und AB parallel.
Und nach dem Strahlensatz verhalten sich deren Längen (also [mm] \overline{DE} [/mm] = a und [mm] \overline{AB}=8) [/mm] wie die Abstände zum Streckungszentrum C.
Na? Hat's jetzt geklickt?
mfG!
Zwerglein
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ich versuch das gerade zu verstehen was du mir sagen willst...
aber ich krieg die nebenbedingung nicht hin. ich hab ja auch garkeine nebenbedingung außer das die seite a parlall zu zur seite mit 8 cm ist, also a/8=?/12....ich hab wirklich keine ahnung...ich weiß nicht was ich machen soll....es tut mir leid...du musst versuchn mir das schritt für schritt zu sagen wie ich da machen soll, denk ich kann kein mathe ok? danke dir für deine geduld
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Hi, matheloserin,
kennst Du den Strahlensatz (=Vierstreckensatz) nicht?
Also: Weiterer Tipp:
DE:AB = CD:CA.
Aber nun!
mfG!
Zwerglein
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das ist doch gerade mein problem, die strecke CA und CD sind unbekannt...die kann ich doch garnicht wissen. ich weiß nur noch das CB 12 cm lang ist
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 03.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Ja, die sind vielleicht unbekannt. Aber das spielt keine so große Rolle, Du musst nur eine Unbekannte (in dem Fall eine Seitenlänge Deines Rechtecks) eliminieren, auch wenn dann da drin natürlich wieder eine Unbekannte rauskommt. Die bekommst Du dann durch die Bedingung, dass die Fläche maximal werden soll rauskriegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 So 03.09.2006 | | Autor: | Mato |
Hallo!
Also ich würde es ohne Strahlensatz machen, habe auch gar nicht daran gedacht. Für Extremwertaufgaben braucht man ja eine Nebenbedingung und eine Zielfunktion. Wenn man das die Hypothenuse des Dreiecks als eine Gerade betrachtet mit negativer Steigung und der Eckpunkt, wo der rechte Winkel ist, der Koordinatenursprung ist, dann kann man eine Geradengleichung aufstellen. Die Seite ,die 12 cm lang ist, liegt dann von mir aus auf der x-Achse und die andere Kathete auf der y-Achse. D.h. wir hätten als Schnittpunkt mit y-Achse. P(0/8) und mit der x-Achse S(12/0). Nun brauchen wir die Steigung m:
m= (8-0)/(0-12)=-2/3
Die Geradengleichung lautet dann: y=(-2/3)*x+8
Nebenbedingung: Fläche des Rechtecks, da es im dreieck liegt, so beschrieben werden: A=x*y, denn die Länge ist die x-Koordinate und die Breite die y-Koordinate, und außerdem liegt die y-Koordinate auf der Geraden! Dann könnte man für y=-2/3*x+8 einsetzten
also folgt daraus: [mm] A(x)=x*((-2/3)*x+8)=(-2/3)*x^2+8x
[/mm]
Nun hast du eine Funktion die du ableiten kannst, und eben nach einem Extremum suchen kannst wie üblich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 So 03.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Die Antwort ist völlig richtig. Aber ich persönlich finde den Strahlensatz wesentlich anschaulicher und einfacher zu handhaben.
Sei y die Seite des Rechtsecks die an der Seite a des Dreiecks anliegt und x die Seite die an b anliegt. (a=12, b=8).
Dann sagt der Strahlensatz: [mm] \bruch{x}{a-y}=\bruch{b}{a}
[/mm]
Daraus folgt dann nach etwas umstellen: [mm] x=b-\bruch{y-b}{a} [/mm] = 8-2/3y
Dann haben wir unsere Zielfunktion A(x,y)=x [mm] \cdot [/mm] y , die maximal werden soll. Die können wir weil mit der Gleichung oben z.B. x eliminiert werden kann umformen zu:
A(y) = (8-2/3y)y = 8y - 2/3 [mm] y^2
[/mm]
Und da muss man dann nur noch A'(y) ausrechnen (=8-4/3y) und gleich null setzen, um ein mögliches Maximum zu kriegen. Da kommt dann y=6 raus, was wir auch wieder oben einsetzen können um x zu kriegen (x = 8-2/3 * 6 = 4).
Jetzt wäre es eigentlich noch nötig, zu zeigen dass es sich hierbei wirklich um ein Maximum handelt, aber das ist relativ eindeutig.
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also..ich hab endlich mal nachfolzogen was du da rechnest, aber ich hab eine frage..ich hab bei der geradengleichung y= -2/3 x + 16/3 raus...kannst du nochmal überprüfen bitte??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 03.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Die Funktion muss die Koordinatenachsen bei 12 und 8 schneiden, da die beiden Katheten ja 12cm und 8cm lang sind und die Funktion die Hypotenuse ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 03.09.2006 | | Autor: | Mato |
Hi!
> also..ich hab endlich mal nachfolzogen was du da rechnest,
> aber ich hab eine frage..ich hab bei der geradengleichung
> y= -2/3 x + 16/3 raus...kannst du nochmal überprüfen
> bitte??
Meine Geradengleichung müsste stimmen.
Man kann es auch so sehen, denn da die eine Kathete 8 cm lang ist und sie auf der y-Achse liegt, ist bei einer Geradengleichung y=m*x+b, b der Schnitt mit der y-Achse, also in unserem Fall dann b=8, und deshalb
y= -2/3 x + 8.
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