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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Do 05.01.2006 | | Autor: | Fschmidt |
| Aufgabe | | Welche quadratische Säule mit der Oberfläche 150dm² hat den größten Rauminhalt? Wie groß ist dieser? |
Guten Tag zusammen,
es fällt mir schwer zur oben genannten Problemstellung den Lösungsansatz zu finden.
Oberfläche=2xLänge² + 4xLängexHöhe
Volumen = Länge² x Höhe
Länge und Breite der Grundfläche dieser Säule sind ja gleich, aber wie bekomme ich diese in ein Verhältnis mit der möglichen Höhe dieser Säule um ein Extremwertproblem daraus zu machen?
Ich bin um jeden Gedankenansatz dankbar.
Viele Grüße,
Fschmidt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Do 05.01.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Welche quadratische Säule mit der Oberfläche 150dm² hat den
> größten Rauminhalt? Wie groß ist dieser?
> Guten Tag zusammen,
> es fällt mir schwer zur oben genannten Problemstellung den
> Lösungsansatz zu finden.
>
> Oberfläche=2xLänge² + 4xLängexHöhe
> Volumen = Länge² x Höhe
>
> Länge und Breite der Grundfläche dieser Säule sind ja
> gleich, aber wie bekomme ich diese in ein Verhältnis mit
> der möglichen Höhe dieser Säule um ein Extremwertproblem
> daraus zu machen?
Naja, die Neben- und Hauptbedingung hast du ja schon richtig genannt.
[mm] Oberfläche=2a^2 [/mm] + 4*a*h Nebenbedingung, wobei wir hier noch die Oberfläche wissen
[mm] 150dm²=2a^2 [/mm] + 4*a*h
V = [mm] a^2 [/mm] * h Hauptbedingung/Zielfunktion
> Ich bin um jeden Gedankenansatz dankbar.
Wie geht man denn allgemein bei Extremwertproblemen vor? Du stellst die Nebenbedingung nach einer Variablen z.B. nach h um und erhälst den Ausdruck
h= ....
den du dann in die Zielfunktion einsetzt. Günstig wäre es nun noch, die Zielfunktion zu vereinfachen. Dann solltest du die ZF(=Zielfunktion) ableiten und gleich Null setzen, um das Extremum herauszubekommen.
Durch die Nebenbedingung würdest du bei einem nun bekannten h auch den Wert der Variablen a herausbekommen.
Zur Kontrolle ist es allerdings nötig, die Zielfunktion zwei mal abzuleiten und das gefundene Extremum hier noch einmal einzusetzen, um auch wirklich zu zeigen, dass das Volumen maximal wird.
> Viele Grüße,
> Fschmidt
Viele Grüße,
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 05.01.2006 | | Autor: | Fschmidt |
Vielen Dank, Disap.
Ich habe nun versucht das Problem zu lösen bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist. Also:
h= [mm] \bruch{150-2a²}{4a}
[/mm]
Nach einsetzen von h in die Zielfunktion müsste diese lauten:
f(a)= 37,5a - 0,5a³
Erste Ableitung:
f'(a)= 37,5 - 1,5a²
Nullstelle: a= 5 [mm] \vee [/mm] a= -5
Zweite Ableitung:
f''(a)= -3a
Einsetzen von a=5 ergibt -15 [mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
Somit muss bei dieser Lösung die Variable h auch 5 sein. Sprich, der Körper ist ein Würfel.
Ist das richtig?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 05.01.2006 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Ich habe nun versucht das Problem zu lösen bin mir aber
> nicht sicher ob es richtig ist. Also:
>
> h= [mm]\bruch{150-2a²}{4a}[/mm]
>
> Nach einsetzen von h in die Zielfunktion müsste diese
> lauten:
>
> f(a)= 37,5a - 0,5a³
>
> Erste Ableitung:
> f'(a)= 37,5 - 1,5a²
> Nullstelle: a= 5 [mm]\vee[/mm] a= -5
>
> Zweite Ableitung:
> f''(a)= -3a
> Einsetzen von a=5 ergibt -15 [mm]\Rightarrow[/mm] Maximum
>
> Somit muss bei dieser Lösung die Variable h auch 5 sein.
> Sprich, der Körper ist ein Würfel.
> Ist das richtig?
Ich habe es nachgerechnet. Scheint alles richtig zu sein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Richtig. Es ist ein Würfel mit dem Volumen
V = [mm] a^3
[/mm]
O = [mm] 6a^2 [/mm] -> Wenn du als Probe für a fünf einsetzt, bekommst du auch 150 heraus.
Und wohl ganz wichtig. Die Einheit nicht vergessen.
> Vielen Dank.
LG Disap
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