Extremwertprob./geom. aufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | 1.)Ein Kessel besteht aus einer Halbkugel mit aufgesetztem Zylindermantel.Wie sind seine Maße zu wählen,damit er mit Dekcke bei gegebener Oberfläche O ein möglichst großes Volumen hat?
2.)Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit [mm] K(x)=x^{3}+8x,wobei [/mm] x die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten bezeichnet.Der Verkaufspreis betrage pro Mengeneinheit p=200.Nimm an,dass sich zu diesem Stückpreis stets alles produzierten Mengeneinheiten verkaufen lassen.
Für welche Produktionsmenge wird der Gewinn maximal? |
Bei diesen 2 Aufgaben bin ich ziemlich ratlos,jedoch hätte ich zur 2 einen versuchten ansatz,obwohl ich mir dabei auch garnicht sicher bin:
2.)x = anzahl der hergestellen mengeneinheiten
p=200 -> verkaufspreis
Kostenfunktion = [mm] x^{3}+8x [/mm] (?)
Zielgröße : G(x,p) =x* 200(p)
Nebenbedingung:K(x)=x{3}+8x
die frage lautet ja bei welchem x,also bei welcher hergestellten anzahl an mengeneinheiten der gewinn maximal ist??
ich hoffe mir kann jemand bei den 2 aufgaben weiterhelfen,da sie relativ wichtig für mich sind.
ich wäre euch sehr sehr dankbar!!
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Rambo |
kann mir denn niemand behilflich sein??
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich helf mal bei 2.)
2.)Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit [mm] K(x)=x^{3}+8x,wobei [/mm] x die Anzahl der hergestellten Mengeneinheiten bezeichnet.Der Verkaufspreis betrage pro Mengeneinheit p=200.Nimm an,dass sich zu diesem Stückpreis stets alles produzierten Mengeneinheiten verkaufen lassen.
Für welche Produktionsmenge wird der Gewinn maximal?
[mm] K(x)=x^{3}+8x
[/mm]
E(x)=200x
E(x) ist die Erlösfunktion oder Einnahmefunktion... wie du es auch imemr nennen willst. Laut Aufgabe bringt ein verkauftes Stück 200 ein. Dann bringen x verkaufte Stücke 200x ein und genau das beschriebt diese Funktion.
Nun hast du also die Kostenfunktion, die die Kosten für eine Stückzahl x beschreibt und eine lineare Funktion, die die Einnahmen für die gleiche Stückzahl x beschreibt. Und der Gewinn lässt sich ja durch Einnahmen minus Kosten berechnen!
Also musst du nun die Gewinnfunktion aufstellen:
G(x)=E(x)-K(x). Diese GEwinnfunktion zeigt dir nun den GEwinn, den du machen würdest, wenn du x Stücke produzierst. Und da der GEwinn maximal werden soll, muss die Gewinnfunktion maximal werden.
Nun weißt du sicher weiter :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 27.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> 1.)Ein Kessel besteht aus einer Halbkugel mit aufgesetztem
> Zylindermantel.Wie sind seine Maße zu wählen,damit er mit
> Dekcke bei gegebener Oberfläche O ein möglichst großes
> Volumen hat?
Zerst brauchst Du das Volumen der Halbkugel also [mm] $V_H(r)$.
[/mm]
Dazu deren Oberfläche [mm] $O_H(r)$, [/mm] jeweils als Funktion des Radius.
Weiterhin für den Zylinder [mm] $V_Z(r,h)$ [/mm] wobei h die Höhe des Zylinders ist. Entsprechend für den Zylindermantel: [mm] $O_Z(r,h) [/mm] = 2 * [mm] \pi [/mm] * r * h $.
Dann noch den Deckel, der zählt nur mit seiner Oberfläche dazu [mm] $O_D(r) [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2$.
[/mm]
Die beiden Volumenanteile addieren, das ist der Wert der maximal werden soll.
Die drei Oberflächenanteile addieren. Nach h oder r auflösen und entsprechend in die Volumenfunktion einsetzen.
Für diese den Extremwert bestimmen.
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