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| Aufgabe | Bestimmten Sie die min/max für folgende Funktion mit Nebenbedingung h.
f(x,y) = [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] + y
h(x,y) = [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1 |
Hallo zusammen,
Meine Vorgehensweise war folgende:
Grad bestimmen von f und h
Dann
[mm] grad_{f} [/mm] = [mm] \lambda grad_{h}
[/mm]
Aufgelöst usw.
Dann habe ich am Ende meine kritischen Punkte in die Funktion eingesetzt:
f(0,1) = -1
f(0,-1) = -3
[mm] f(\bruch{\wurzel{35}}{6}, \bruch{1}{6}) [/mm] = [mm] 1\bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] f(\bruch{-\wurzel{35}}{6}, \bruch{1}{6}) [/mm] = [mm] 1\bruch{1}{12}
[/mm]
Nun wird hier bei mir im Übungszettel direkt gesagt, -1 sowie -3 sind Minima.
Die restlichen zwei sind Maxima...
Aber wie kommt man dadrauf?
Einfach weil die ersten beiden negativ sind sind es Minima?
Gruß und danke,
steffi
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> Bestimmten Sie die min/max für folgende Funktion mit
> Nebenbedingung h.
>
> f(x,y) = [mm]x^2[/mm] - [mm]2y^2[/mm] + y
> h(x,y) = [mm]x^2+y^2[/mm] = 1
> Dann habe ich am Ende meine kritischen Punkte in die
> Funktion eingesetzt:
>
> f(0,1) = -1
> f(0,-1) = -3
> [mm]f(\bruch{\wurzel{35}}{6}, \bruch{1}{6})[/mm] = [mm]1\bruch{1}{12}[/mm]
> [mm]f(\bruch{-\wurzel{35}}{6}, \bruch{1}{6})[/mm] = [mm]1\bruch{1}{12}[/mm]
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> Nun wird hier bei mir im Übungszettel direkt gesagt, -1
> sowie -3 sind Minima.
> Die restlichen zwei sind Maxima...
>
> Aber wie kommt man dadrauf?
> Einfach weil die ersten beiden negativ sind sind es
> Minima?
Hallo,
Du betrachtest ja die stetige Funktion f auf dem Einheitskreis, also auf einer kompakten Menge, daher weiß man, daß sie ihr Minimum und Maximum annimmt.
Da die -3 der kleinste der Werte ist, muß an der Stelle (0,-1) das Minimum der auf den Einheitskreis beschränkten Funktion sein, und [mm] 1\bruch{1}{12} [/mm] das Maximum.
Also sind beide Stellen, an denen der Funktionswert [mm] 1\bruch{1}{12} [/mm] angenommen wird, Maximalstellen. Dazwischen - also auf dem "oberen" Kreisbogen -, muß es ein Minimum geben, und dieses hast Du ausgerechnet, eine andere Stelle steht hierfür nicht mehr zur Debatte.
Die von Loddar vorgeschlagene Methode mit Hessematrix/Definitheit funktioniert hier wegen der Nebenbedingung nicht.
Du kannst allerdings die im Wikiartikel verlinkte geränderte Hessematrix verwenden - aber es würde mich wundern, wenn das bei Euch in der Vorlesung drangewesen wäre.
Gruß v. Angela
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Hesse-Matrix