Extremwerte mit nebenbedingung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion
f: R pfeil [mm] R^3
[/mm]
f ( x y z)= [mm] (x-1)^2 +y^2 +z^2
[/mm]
unter der Nebenbedingung x + y - z = 0.
Kann mir jemand sagen wie ich bei der Aufgabe vorgehen kann biite. |
Ich habe die frage in keinem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 13.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
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> Bestimmen Sie die Extrema der Funktion
>
> f: R pfeil [mm]R^3[/mm]
>
> f ( x y z)= [mm](x-1)^2 +y^2 +z^2[/mm]
>
> unter der Nebenbedingung x + y - z = 0.
>
>
> Kann mir jemand sagen wie ich bei der Aufgabe vorgehen kann
> biite.
> Ich habe die frage in keinem Forum gestellt.
1. Möglichkeit: mit der Multiplikatorenregel von Lagrange.
2. Möglichkeit: Löse die Nebenbed. nach z auf und setze in f ein. Dann bekommst Du ein Extremwertproblem ohne Nebenbedingung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Kannst du mir wenn es geht ein wenig die Multiplikationsregel vielleicht erklären , damit ich weiss wie ich vorgehen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 13.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Regel solltest du aus der Vorlesung oder skript oder Buch kennen. Das forum ersetzt keines von denen, sondern hilft bei Verständnisschwierigkeiten. Also lies nach unter Lagrange-Multiplikator, und sag dann was dir unklar ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Die partiellen Ableitungen hab ich gemacht:
f x= 2x -2
f y = 2y
f z = 2z
Aber wie gehe ich weiter vor?
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Hallo,
> Die partiellen Ableitungen hab ich gemacht:
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> f x= 2x -2
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> f y = 2y
>
> f z = 2z
>
> Aber wie gehe ich weiter vor?
welchen von beiden Wegen, die FRED vorschlug, möchtest du denn jetzt gehen? Du hast alle drei partiellen Ableitungen (richtig) gebildet, also gehe ich mal davon aus, dass du es mit Lagrange versuchen möchtest. Dann benötigst du für das GS zur Bestimmung (des hier einzigen) Lagrange-Multiplikators noch die partiellen Ableitungen der linken Seite deiner Nebenbedingung.
Damit, wie gesagt, das Gleichungssystem aufstellen und den Multiplikator [mm] \lambda [/mm] bestimmen. Er liefert dir die möglichen Extrema.
Und, BTW: nimm das, was leduart geschrieben hat, bitte ernst: man kann nicht eigenes Lernen an andere delegieren, so verlockend das auch sein mag. Das ist etwas, was früher oder später zum Scheitern verurteilt ist, und in der Mathematik eher früher. Gehe mal am besten wirklich dein Skript nochmal durch, was Extrema unter Nebenbedingungen angeht und mache dir klar, was du hier tust. Wenn du dann Fragen zu einzelnen Punkten stellst, die dir unklar sind, dann hat das gleich zwei Vorteile:
- es bringt dir viel mehr
- es ist für uns einfacher, dir gezielt zu helfen
Gruß, Diophant
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Hallo Kevin,
> Bestimmen Sie die Extrema der Funktion
>
> f: R pfeil [mm]R^3[/mm]
Das müsste doch [mm] f:\ \IR^3\to\IR [/mm] heißen.
> f ( x y z)= [mm](x-1)^2 +y^2 +z^2[/mm]
>
> unter der Nebenbedingung x + y - z = 0.
>
> Kann mir jemand sagen wie ich bei der Aufgabe vorgehen kann
> biite.
> Ich habe die frage in keinem Forum gestellt.
Doch, hier. 
Die Lösung wird [mm] \vektor{x\\y\\z}=\bruch{1}{3}\vektor{2\\-1\\1} [/mm] sein, wo sich ein Minimum befindet; das einzige Extremum.
Ich habe Freds zweiten Weg genommen, der schien mir kürzer.
Natürlich findest Du das Ergebnis auch auf dem ersten Weg, am besten probierst Du aber beide. Frag ruhig, wenn Du nicht weiter kommst, aber nicht so, dass wir alles vorkauen, sondern so, dass Du erst mal weiterrechnest und Dich dann hier rückversicherst, ob Du richtig vorgegangen bist.
Grüße
reverend
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