Extremwerte mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Do 03.03.2011 | | Autor: | Barbidi |
| Aufgabe | | Berechnen sie den Extremwert unter beachtung der Nebenbedingungen. |
Moin moin,
ich habe die Funktion
[mm] u=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
[/mm]
und die beiden Nebenbedingungen
g(x,y,z)=x+y-2=0
h(x,y,z)=x+z+5=0
Ich kam mit der Lagranschen Multiplikationsmethode und anschließend mit der Cramschen Regel auf
x=-1
y=3
z=-4
Nun soll ich noch bestimmen ob es ein Minimum oder ein Maximum ist.
Zuerst habe ich u(Extrem) ausgerechnet und komme dabei auf 26.
Nun weiß ich aber nicht weiter.
In den Lösungen steht u(-1,1/3,1/-3,9) =26,03 >u(extrem) Darauß folgt dass es ein Minimum ist. Meine Frage ist, woher nimmt der Prof diese Zahlen, denn wenn ich nur eine Austausch kommt was vollkommen anderes raus und ich haette ein Maximum.
Oder muss ich einfach nur die 2te Ableitung bilden und schauen was rauskommt?
Vielen danke im vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie den Extremwert unter beachtung der
> Nebenbedingungen.
> Moin moin,
> ich habe die Funktion
> [mm]u=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2[/mm]
> und die beiden Nebenbedingungen
> g(x,y,z)=x+y-2=0
> h(x,y,z)=x+z+5=0
>
> Ich kam mit der Lagranschen Multiplikationsmethode und
> anschließend mit der Cramschen Regel auf
>
> x=-1
> y=3
> z=-4
Das stimmt.
>
> Nun soll ich noch bestimmen ob es ein Minimum oder ein
> Maximum ist.
> Zuerst habe ich u(Extrem) ausgerechnet und komme dabei auf
> 26.
Stimmt auch.
> Nun weiß ich aber nicht weiter.
>
> In den Lösungen steht u(-1,1/3,1/-3,9) =26,03 >u(extrem)
> Darauß folgt dass es ein Minimum ist. Meine Frage ist,
> woher nimmt der Prof diese Zahlen,
Das weiß nur der Prof.......
> denn wenn ich nur eine
> Austausch kommt was vollkommen anderes raus und ich haette
> ein Maximum.
>
> Oder muss ich einfach nur die 2te Ableitung bilden und
> schauen was rauskommt?
>
> Vielen danke im vorraus
Viel einfacher gehts, wenn Du auflöst: y=2-x und z=-5-x und dann in f einsetzt:
f(x,y,z)= [mm] 3x^2+6x+29
[/mm]
Setzt Du [mm] g(x):=3x^2+6x+29,
[/mm]
so ist das die Gl. einer Parabel und Du siehst sofort: sie hat ihren Scheitel bei x=-1. Dort also ein absolutes Minimum.
Daher hat f in (-1,3,-4) ein absolutes Minimum.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Barbidi |
Das habe ich alles nachvollziehen können bis du sagst ,
dass [mm] g(x)=3x^2-6x+29 [/mm] ist , ich bekomm da keinen scheitel bei -1 herraus.
magst du vllt in 1-2 Schritten mehr nochmal erläutern was du dort genau gemacht hast.
Ich komme auf einen Scheitel von 10 1/3
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Hallo,
> Das habe ich alles nachvollziehen können bis du sagst ,
> dass [mm]g(x)=3x^2-6x+29[/mm] ist , ich bekomm da keinen scheitel
> bei -1 herraus.
> magst du vllt in 1-2 Schritten mehr nochmal erläutern
> was du dort genau gemacht hast.
Als Gleichung stand doch da [mm] f(x)=3x^2\red{+}6x+29
[/mm]
Dann ist klar f'(x)=6x+6 ist Null für x=-1
>
> Ich komme auf einen Scheitel von 10 1/3
Gruß
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