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Hallo
Hab folgendes Beispiel [mm] f(x,y)=e^{2x}*y+2x*e^{y} [/mm] für |x| [mm] \le1 [/mm] und |y [mm] \le1
[/mm]
[mm] f_{x}=2*e^{2*x}*y+2*e^{y}
[/mm]
[mm] f_{xx}=4*e^{2*x}*y
[/mm]
[mm] f_{y}=2*e^{y}*x+e^{2*x}
[/mm]
[mm] f_{yy}=2*e^{y}*x
[/mm]
[mm] f_{xy}=2*e^{y}+2*e^{2*x}
[/mm]
[mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] können nie 0 werden aber wie zeigt man das es keine inneren Extremstellen gibt?
Extremwerte am Rand
Ich hätte mir das so gedacht um den Rand des Quadrats zu Untersuchen halte ich einmal das x fest und lasse das y variabel also (0,y) und setzte das in meine Angabe ein
[mm] f(0,y)=e^{0}*y+2*0*e^{y} [/mm] wenn ich jetzt nach y ableite müßte ich doch die möglichen Extremwerte bekommen mir kommt aber heraus 1=0
und das ist falsch
Was ist an meiner Überlegung falsch?
für mich scheint sie eigentlich richtig
Danke Stevo
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> Hallo
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> Hab folgendes Beispiel [mm]f(x,y)=e^{2x}*y+2x*e^{y}[/mm] für |x|
> [mm]\le1[/mm] und |y [mm]\le1[/mm]
> [mm]f_{x}=2*e^{2*x}*y+2*e^{y}[/mm]
> [mm]f_{xx}=4*e^{2*x}*y[/mm]
> [mm]f_{y}=2*e^{y}*x+e^{2*x}[/mm]
> [mm]f_{yy}=2*e^{y}*x[/mm]
> [mm]f_{xy}=2*e^{y}+2*e^{2*x}[/mm]
>
> [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] können nie 0 werden aber wie zeigt man das
> es keine inneren Extremstellen gibt?
Hallo, wenn [mm] \vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)} \not=0 [/mm] für alle x,y im Innern des Quadrates - was ich nicht nachgeprüft habe - ,
dann gibt es dort eben keine Extremstellen.
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> Extremwerte am Rand
> Ich hätte mir das so gedacht um den Rand des Quadrats zu
> Untersuchen halte ich einmal das x fest und lasse das y
> variabel also (0,y) und setzte das in meine Angabe ein
Nein. Es interessiert doch nicht die x-Achse, sondern die Parallene dazu im Abstand 1.
Ich würde die Funktion also auf x=1, x=-1, ebenso wie auf y=1, y=-1 untersuchen und mir anschließend noch gedanken darüber machen, was in den Eckpunkten (1,1),(1,-1),(-1,1) und (-1,-1) passiert.
Gruß v. Angela
> [mm]f(0,y)=e^{0}*y+2*0*e^{y}[/mm] wenn ich jetzt nach y ableite
> müßte ich doch die möglichen Extremwerte bekommen mir kommt
> aber heraus 1=0
> und das ist falsch
> Was ist an meiner Überlegung falsch?
> für mich scheint sie eigentlich richtig
>
> Danke Stevo
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> > Hallo
> >
> > Hab folgendes Beispiel [mm]f(x,y)=e^{2x}*y+2x*e^{y}[/mm] für |x|
> > [mm]\le1[/mm] und |y [mm]\le1[/mm]
> > [mm]f_{x}=2*e^{2*x}*y+2*e^{y}[/mm]
> > [mm]f_{xx}=4*e^{2*x}*y[/mm]
> > [mm]f_{y}=2*e^{y}*x+e^{2*x}[/mm]
> > [mm]f_{yy}=2*e^{y}*x[/mm]
> > [mm]f_{xy}=2*e^{y}+2*e^{2*x}[/mm]
> >
> > [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] können nie 0 werden aber wie zeigt man das
> > es keine inneren Extremstellen gibt?
>
> Hallo, wenn [mm]\vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)} \not=0[/mm] für alle
> x,y im Innern des Quadrates - was ich nicht nachgeprüft
> habe - ,
> dann gibt es dort eben keine Extremstellen.
>
> >
> > Extremwerte am Rand
> > Ich hätte mir das so gedacht um den Rand des Quadrats
> zu
Untersuchen halte ich einmal das x fest und lasse das x
variabel also (x,1) und setzte das in meine Angabe ein
wenn ich das einsetze bin ich auf der Geraden parallel zur x-Achse wenn ich jetzt ableite und 0 setze müßt ich die möglichen Extrema bekommen oder bin ich da schon wieder am Holzweg
Und wie kann man die Eckpunkte Prüfen
Indem ich sie einfach in [mm] f_{xx}=4*e^{2*x}*y [/mm] und [mm] f_{yy}=2*e^{y}*x [/mm] einsetze ???
Danke
Stevo
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> Untersuchen halte ich einmal das y fest und lasse das x
> variabel also (x,1) und setzte das in meine Angabe ein
> wenn ich das einsetze bin ich auf der Geraden parallel zur
> x-Achse wenn ich jetzt ableite und 0 setze müßt ich die
> möglichen Extrema bekommen oder bin ich da schon wieder am
> Holzweg
Kein Holzweg! So wird es richtig. Wenn Du punkte ausgerechnet hast, mußt du natürlich schauen, ob sie nicht außerhalb des Quadrates liegen, also |y| [mm] \le [/mm] 1 ist.
>
> Und wie kann man die Eckpunkte Prüfen
> Indem ich sie einfach in [mm]f_{xx}=4*e^{2*x}*y[/mm] und
> [mm]f_{yy}=2*e^{y}*x[/mm] einsetze ???
Bei den Eckpunkten mußt Du Dir schließlich noch die Funktionswerte angucken, könnt ja sein, daß dort globale Extrema vorliegen, die Du per Ableiten nicht bekommst.
So wie wenn Du eine Funktion in Abhängigkeit von einer Variaben auf einem abgeschlossenen Intervall anguckst.
Gruß v. Angela
>
> Danke
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> Stevo
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