Extremwerte R² -> R < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Di 07.09.2004 | | Autor: | komul |
Taach,
hmm, also ich habe folgende Augfgabe:
Bestimmen Sie alle relativen Extrema der Funktion f : [mm] \IR² \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x,y):=(x²+y²)e^{-x}
[/mm]
So, jetzt müsste ich ja erstmal die partiellen Ableitungen f´(x) und f´(y) bilden
f´(x) = [mm] (2x-x²-y²)e^{-x}
[/mm]
f´(y) = [mm] 2ye^{-x}
[/mm]
und diese dann gleich Null setzen.
Die Musterlösung dazu lautet:
grad f = [mm] ((2x-x²-y²)e^{-x}; 2ye^{-x}) [/mm] = (0,0) [mm] \gdw [/mm] 2x -x²-y² = 0 = y
[mm] \gdw [/mm] [(x=0 [mm] \wedge [/mm] y=0) [mm] \vee [/mm] (x=2 [mm] \wedge [/mm] y=0)]
Hier versteh ich aber nicht, wie ich wie ich die Nullstellen berechnen soll, die Musterlösung hilft mir da leider auch nicht sonderlich.
Also es wär super wenn mir jemand erklären könnte wie ich die Nullstellen der partiellen Ableitungen brechnen kann.
(die restliche Aufgabe verstehe ich)
Danke und Gruß Christian
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Di 07.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi Christian
es muss ja gelten, dass [m] \text{grad} \, f = \left( \begin{array}{c} (2x-x²-y²)e^{-x} \\ 2ye^{-x} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) [/m]
da [m] e^{-x} \not=0 [/m] muss also gelten [m] (1): \; (2x-x²-y²) = 0 [/m], damit die erste koordinate null wird und gleichzeitig [m] (2): \; 2y = 0 [/m] damit die zweite koordinate null wird.
$(2)$ kann nur erfüllt werden, wenn [m] y = 0 [/m]. setzt du dieses wissen nun ein, so wird $(1)$ zu einer normalen quadratischen gleichung in einer variablen: [m] (2x-x²-y² = 0 \; \wedge \; y = 0 )\; \Longrightarrow \; (2x - x^2 = 0) [/m]. diese quadratische gleichung hat meiner rechnung nach die lösungen [m] x_1 = 0 [/m] und [m] x_2 = 2[/m], also ergibt sich somit insgesamt damit die gelichungen $(1)$ und $(2)$ gleichzeitig erfüllt sind:
[m] [ (y = 0) \; \wedge \; (x = 0 \; \vee \; x = 2) ] \; \Longleftrightarrow \; [ (y = 0 \; \wedge \; x = 0) \; \vee \; (y = 0 \; \wedge \; x = 2)] [/m]
nochwas am rande:
wenn du die partieelle ableitungen bildest sind das immer noch funktionen von [m] x [/m] und [m] y [/m]! daher ist es meistens besser zu schreiben [m] f_x (x, y), \; f_x' (x, y) [/m] oder [m] \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) [/m].
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 08.09.2004 | | Autor: | komul |
Hi Andreas,
danke für deine Antwort. Das war ja doch ganz einfach...
Manchmal glaube ich, ich habe ein Brett vorm Kopf 
Und danke für den Tipp bzgl. der Schreibweise.
Gruß Christian
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