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Extremwerte Bestimmen: Frage( Korrektur)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Mo 17.11.2008
Autor: mucki.l

Aufgabe
Bestimmen Sie extrema und wendepunkte!

$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}–4} [/mm] $

$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}–4} [/mm] $

[mm] u(x)=x^{2} [/mm] + 2x + 1
$ u'(x)=2x+2 $
[mm] v(x)=x^{2}–4 [/mm]
$ v'(x)=2x $

[mm] f'(x)=\bruch{(2x+2)(x^{2}-4)-(x^{2}+2x+1)2x}{(x^{2}-4)^{2}} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{-2x^{2}-10x-8}{(x^{2}-4)^{2}} [/mm]

[mm] u(x)=-2x^{2}-10x-8 [/mm]
$ u'(x)=-4x-10 $
[mm] v(x)=(x^{2}-4)^{2} [/mm]
$ [mm] v'(x)=2(x^{2}-4)2x=4x(x^{2}-4) [/mm] $

[mm] f''(x)=\bruch{(-4x-10)(x^{2}-4)^{2}-(-2x^{2}-10-8)(4x(x^{2}-4))}{(x^{2}-4)^{4}} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{(x^{2}-4)[(-4x-10)(x^{2}-4)-(-2x^{2}-10x-8)4x]}{(x^{2}-4)^{4}} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{x^{3}} [/mm]
Ist meine 2te Ableitung richtig ?
Sonst bruache ich noch keinen Wendepunkt berechnen.



[mm] 0=-2x^{2}-10x-8 [/mm]

[mm] 0=x^{2}+5x+4 [/mm]

[mm] x_{1}=-1 [/mm] Hochpunkt
[mm] x_{2}=-4 [/mm] Tiefpunkt

f(-1)=0
f(-4)=0,75





        
Bezug
Extremwerte Bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mo 17.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo mucki.l,

> Bestimmen Sie extrema und wendepunkte!
>  
> $f(x) = [mm] \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2–4}$ [/mm]
>  $f(x) = [mm] \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2–4}$ [/mm]
>  
> [mm]u(x)=x^{2}[/mm] + 2x + 1
>  [mm]u'(x)=2x+2[/mm]
>  [mm]v(x)=x^{2}–4[/mm]
>  [mm]v'(x)=2x[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{(2x+2)(x^{2}-4)-(x^{2}+2x+1)2x}{(x^{2}-4)^{2}}[/mm]
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{-2x^{2}-10x-8}{(x^{2}-4)^{2}}[/mm]
>  
> [mm]u(x)=-2x^{2}-10x-8[/mm]
>  [mm]u'(x)=-4x-10[/mm]
>  [mm]v(x)=(x^{2}-4)^{2}[/mm]
>  [mm]v'(x)=2(x^{2}-4)2x=4x(x^{2}-4)[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{(-4x-10)(x^{2}-4)^{2}-(-2x^{2}-10-8)(4x(x^{2}-4))}{(x^{2}-4)^{4}}[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{(x^{2}-4)[(-4x-10)(x^{2}-4)-(-2x^{2}-10x-8)4x]}{(x^{2}-4)^{4}}[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{x^{3}}[/mm]
>  Ist meine 2te Ableitung richtig ? [ok]
>  Sonst bruache ich noch keinen Wendepunkt berechnen.
>  
>
>
> [mm]0=-2x^{2}-10x-8[/mm]
>  
> [mm]0=x^{2}+5x+4[/mm]
>  
> [mm]x_{1}=-1[/mm] Hochpunkt [ok] bzw. x-Koordinate des HP ;-)
>  [mm]x_{2}=-4[/mm] Tiefpunkt [ok]
>  
> f(-1)=0 [ok]
>  f(-4)=0,75 [ok]
>  

Gut gemacht, es ist alles richtig!


LG

schachuzipus
Bezug
        
Bezug
Extremwerte Bestimmen: Frage( Korrektur)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mo 17.11.2008
Autor: mucki.l

Aufgabe
Bestimmen Sie extrema und wendepunkte!

$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}-4} [/mm] $

$ f(x) = [mm] \bruch{x^{2} + 2x + 1}{x^{2}-4} [/mm] $

[mm] u(x)=x^{2} [/mm] + 2x + 1
$ u'(x)=2x+2 $
[mm] v(x)=x^{2}-4 [/mm]
$ v'(x)=2x $

[mm] f'(x)=\bruch{(2x+2)(x^{2}-4)-(x^{2}+2x+1)2x}{(x^{2}-4)^{2}} [/mm]

[mm] f'(x)=\bruch{-2x^{2}-10x-8}{(x^{2}-4)^{2}} [/mm]

[mm] u(x)=-2x^{2}-10x-8 [/mm]
$ u'(x)=-4x-10 $
[mm] v(x)=(x^{2}-4)^{2} [/mm]
$ [mm] v'(x)=2(x^{2}-4)2x=4x(x^{2}-4) [/mm] $

[mm] f''(x)=\bruch{(-4x-10)(x^{2}-4)^{2}-(-2x^{2}-10-8)(4x(x^{2}-4))}{(x^{2}-4)^{4}} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{(x^{2}-4)[(-4x-10)(x^{2}-4)-(-2x^{2}-10x-8)4x]}{(x^{2}-4)^{4}} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{(x^{2}-4)^{3}} [/mm]

[mm] 0=-2x^{2}-10x-8 [/mm]
[mm] 0=x^{2}+5x+4 [/mm]

[mm] f''(-1)=-0,\overline{6} [/mm]
[mm] f''(-4)=0,041\overline{6} [/mm]


[mm] x_{1}=-1 [/mm]    Hochpunkt          f(-1)=0
[mm] x_{2}=-4 [/mm]    Tiefpunkt           f(-4)=0,75

[mm] f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{(x^{2}-4)^{3}} [/mm]

[mm] u(x)=4x^{3}+30x^{2}+48x+40 [/mm]
$ [mm] u'(x)=12x^{2}+60x+48 [/mm] $
[mm] v(x)=(x^{2}-4)^{3} [/mm]
$ [mm] v'(x)=+x(x^{2}-4)^{2} [/mm] $

[mm] f'''(x)=\bruch{(12x^{2}+60x+48)(x^{2}-4)^{3}-(4x^{3}+30x^{2}+48x+40)(6x(x^{2}-4)^{2})}{(x^{2}-4)^{6}} [/mm]

[mm] f'''(x)=\bruch{(x^{2}-4)^{2}[(12x^{2}+60x+48)(x^{2}-4)-(4x^{3}+30x^{2}+48x+40)6x)}{(x^{2}-4)^{6}} [/mm]

[mm] f'''(x)=\bruch{-12x^{4}-120x^{3}-336x^{2}+480x-192}{(x^{2}-4)^{4}} [/mm]

Laut Turbo Plot sollte bei -5,7 der Wendepunkt sein, wenn ich das aber in die funktion eingebe komm nicht 0 raus. oder mache ich etwas falsch ?

Bezug
                
Bezug
Extremwerte Bestimmen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mo 17.11.2008
Autor: Loddar

Hallo mucki.l!


> [mm]x_{1}=-1[/mm]    Hochpunkt          f(-1)=0
> [mm]x_{2}=-4[/mm]    Tiefpunkt           f(-4)=0,75

Das wurde ja schon korrigiert / bestätigt von schachuzipus.

  
> [mm]f''(x)=\bruch{4x^{3}+30x^{2}+48x+40}{(x^{2}-4)^{3}}[/mm]

[ok]


> [mm]f'''(x)=\bruch{(x^{2}-4)^{2}[(12x^{2}+60x+48)(x^{2}-4)-(4x^{3}+30x^{2}+48x+40)6x)}{(x^{2}-4)^{6}}[/mm]

Das stimmt noch ...

  
> [mm]f'''(x)=\bruch{-12x^{4}-120x^{3}-336x^{2}+480x-192}{(x^{2}-4)^{4}}[/mm]

... aber hier erhalte ich zwischendrin [mm] $-288*x^2$ [/mm] .

  
> Laut Turbo Plot sollte bei -5,7 der Wendepunkt sein,

[ok] Das habe ich auch.


> wenn ich das aber in die funktion eingebe komm nicht 0 raus.
> oder mache ich etwas falsch ?

Setzt Du das in die Funktion oder in die 2. Ableitung ein?
Rcigt ist, dass es in der 2. Ableitung den Wert 0 ergeben muss.


Gruß
Loddar


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