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| Aufgabe | Untersuchen sie die Funktion f auf lokale Extremwerte in [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] f(x,y)=4x^2(2+y^2)+(2-y^2)^2 [/mm] |
Hallo
Hab zunächst mal den Gradienten berechnet da ja gelten muss grad f(x,y)=0
grad [mm] f(x,y)=(16x+8xy^2 [/mm] , [mm] 8x^2y+2(2-y^2)*(-2) [/mm] )
Mein Problem liegt jetz darin wi ich alle Nullstellen finden kann:
Setze ich
[mm] 16x+8xy^2=0
[/mm]
[mm] 8x^2y+2(2-y^2)*(-2)=0
[/mm]
habe ich keine Idee wie ich daraus die Nullstellen bestimme: oder schaue ich mir dazu die ausgangsfunktion an?
gruß
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Hallo mathefreak89,
> Untersuchen sie die Funktion f auf lokale Extremwerte in
> [mm]\IR^2[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=4x^2(2+y^2)+(2-y^2)^2[/mm]
> Hallo
>
> Hab zunächst mal den Gradienten berechnet da ja gelten
> muss grad f(x,y)=0
>
> grad [mm]f(x,y)=(16x+8xy^2[/mm] , [mm]8x^2y+2(2-y^2)*(-2)[/mm] ) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da muss es am Ende mit der inneren Ableitung doch lauten [mm]\cdot{}(-2\red{y})[/mm]
> Mein Problem liegt jetz darin wi ich alle Nullstellen
> finden kann:
>
> Setze ich
>
> [mm]16x+8xy^2=0[/mm]
>
> [mm]8x^2y+2(2-y^2)*(-2)=0[/mm]
>
> habe ich keine Idee wie ich daraus die Nullstellen
> bestimme: oder schaue ich mir dazu die ausgangsfunktion
> an?
Ausklammern und vereinfachen
1) [mm]8x(2+y^2)=0[/mm]
2) in der korrigierten Version: [mm]4y(2x^2+y^2-2)=0[/mm]
1) wird genau dann 0, wenn [mm]x=0[/mm] ist, die Klammer ist stets positiv!
Damit in 2)
[mm]4y(y^2-2)=0[/mm]
Das sollte doch klappen, um alle stat. Punkte zu bestimmen
>
> gruß
LG
schachuzipus
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Also würde jetz den Punkt [mm] (0,\wurzel{2}) [/mm] finden.
Hab das ganze jetz mal bei wolfram alpha eingegeben und bekomme zusätzlich noch [mm] (0,-\wurzel{2}) [/mm] als Lösung. Nur leider kann ich das nich erkennen??
Geht man allgemein immer so vor das man ausklammert um eine übersichtlichere form zu bekommen und ließt dann ab?
Gibt es nich so eine Art pq-Formel xD??
gruß
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Hallo nochmal,
> Also würde jetz den Punkt [mm](0,\wurzel{2})[/mm] finden.
Ja, unter anderem!
>
> Hab das ganze jetz mal bei wolfram alpha eingegeben ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Das ist nicht dein Ernst.
Auf dem Schmierblatt kannst du das in der Zeit des Eintippens 5mal händisch lösen
> und bekomme zusätzlich noch [mm](0,-\wurzel{2})[/mm] als Lösung. Nur
> leider kann ich das nich erkennen??
Bitte?
Das kannst du seit der Mittelstufe!
Es müssen glz. 1) und 2) =0 sein.
1) ist nur 0 für [mm]x=0[/mm]
Das ist 2) gibt [mm]4y(y^2-2)=0[/mm]
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mind. einer der Faktoren =0 ist
Also [mm]4y=0[/mm] oder [mm]y^2-2=0[/mm]
Und du willst mir doch nicht verkaufen, dass du das nicht lösen kannst (ohne Computerhilfe) ...
Man kommt auf 3 Kandidaten
>
> Geht man allgemein immer so vor das man ausklammert um eine
> übersichtlichere form zu bekommen und ließt
Das Verb heißt "(ab)lesen"
dann ab?
Nun, du kannst die Nullstellen auf die Art und Weise deiner Wahl bestimmen, von mit aus rate sie.
Das Ausklammern und Faktorisieren ist nur sehr hilfreich wegen des Satzes vom Nullprodukt --> s.oben: ein Produkt ist genau dann =0, wenn ...
>
> Gibt es nich so eine Art pq-Formel xD??
Wenn du die einbringen kannst/willst, bitte!
Aber es ist doch ein simples Gleichungssystem aus 2 Gleichungen zu lösen Da muss man doch nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen, lieber Hirnschmalz benutzen ...
>
> gruß
LG
schachuzipus
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Langsam geht ein Licht auf nach saftigen Prügeln
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Hallo nochmal,
> Langsam geht ein Licht auf nach saftigen Prügeln
Naja, manchmal bedarf es ja nur eines kleinen "Schlags in den Nacken" oder Anstupsers, das lehrt auch die "Live-Nachhilfe"
Du kannst das ja eigentlich ...
Und es ist ja auch nicht böse gemeint, wenn ich mal etwas "harscher" antworte...
Wie es dann mit den stat. Punkten weitergeht, also wie du auf Extremum prüfst, weißt du aber?!
Gruß
schachuzipus
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Jop das weiß ich.. das Problem war gerade auch hauptsächlich bei der Gleichung [mm] y^2-2=0..Hatte [/mm] da Gar nich dran gedacht das die 2. Lösungen haben kann-.-^^
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