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| Aufgabe | | x(t)=3cos(t) ; [mm] y(t)=\sqrt{3}*sin(t) [/mm] mit 0<= t [mm] <2\pi [/mm] |
hi
also ich soll folgende Aufgabe lösen
"Bestimmen Sie die Extremwerte (xE/yE) der Abbildung y = y(x) aus der Parameterdarstellung. Die 2.
Ableitung in Parameterform ist zum Nachweis der Maxima und Minima erforderlich."
da brauch ich ja die ersten beiden ableitungen mit folgender formel
[mm] y'=\bruch{\dot{y}}{\dot{x}}
[/mm]
was bei mit [mm] -\bruch{3}{\sqrt{3}}*tan(t) [/mm] ergibt..
da hier muss ich ja dann nur die nullstelle für tan suchen was [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] wäre
und das muss ich ja dann in y'' einsetzen..
das ist folgende formel ( ich weiß nicht wie man 2 punkte überm x oder y macht darum nutze ich '' )
[mm] y''=\bruch{\dot{x}*y''-\dot{y}*x''}{(\dot{x})^3}
[/mm]
was bei mir wenn ich [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] einsetze [mm] \bruch{3\sqrt{3}-0}{27}
[/mm]
ergibt was [mm] \bruch{\sqrt{3}}{9} [/mm] ergibt
damit wäre es größer 0 und somit nen minima
stimmt das bisher ? jetzt brauch ich dann noch die koordinaten xE und yE, xE ist ja [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und was ist y wo setze ich das jetzt ein
und wenn ich die funktion zeichnen muss welche ausgangsfunktion hab ich dann??
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> x(t)=3cos(t) ; [mm]y(t)=\sqrt{3}*sin(t)[/mm] mit 0<= t [mm]<2\pi[/mm]
> hi
>
> also ich soll folgende Aufgabe lösen
>
> "Bestimmen Sie die Extremwerte (xE/yE) der Abbildung y =
> y(x) aus der Parameterdarstellung. Die 2.
> Ableitung in Parameterform ist zum Nachweis der Maxima und
> Minima erforderlich."
>
> da brauch ich ja die ersten beiden ableitungen mit
> folgender formel
>
> [mm]y'=\bruch{\dot{y}}{\dot{x}}[/mm]
>
> was bei mit [mm]-\bruch{3}{\sqrt{3}}*tan(t)[/mm] ergibt..
Laut obigen Angaben ist:
[mm]\blue{y'=\bruch{\dot{y}}{\dot{x}}=\bruch{\wurzel{3}\cos\left(t\right)}{3\sin\left(t\right)}=-\bruch{\wurzel{3}}{3}*\bruch{1}{\tan\left(t\right)}=-\bruch{\wurzel{3}}{3}*\cot\left(t\right)}[/mm]
Demnach gerade der Kehrwert von dem, was Du heraus hast.
>
> da hier muss ich ja dann nur die nullstelle für tan suchen
> was [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] wäre
>
> und das muss ich ja dann in y'' einsetzen..
>
> das ist folgende formel ( ich weiß nicht wie man 2 punkte
> überm x oder y macht darum nutze ich '' )
>
Für die 2 Punkte über dem x bzw.y verwendest Du "ddot".
>
> [mm]y''=\bruch{\dot{x}*y''-\dot{y}*x''}{(\dot{x})^3}[/mm]
>
[mm]\blue{y''=\bruch{\dot{x}*\ddot{y}-\dot{y}*\ddot{x}}{(\dot{x})^3}}[/mm]
>
> was bei mir wenn ich [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] einsetze
> [mm]\bruch{3\sqrt{3}-0}{27}[/mm]
>
> ergibt was [mm]\bruch{\sqrt{3}}{9}[/mm] ergibt
>
> damit wäre es größer 0 und somit nen minima
>
> stimmt das bisher ? jetzt brauch ich dann noch die
> koordinaten xE und yE, xE ist ja [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und was ist
> y wo setze ich das jetzt ein
>
> und wenn ich die funktion zeichnen muss welche
> ausgangsfunktion hab ich dann??
Zeichen die obige Funktion für ein paar signifikante t-Werte.
Schreibt man das in kartesischen Koordinaten,
dann stellt man fest, daß es sich um eine Ellipse handelt
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
ah sorry, ich habs mal wieder vom falschen blatt abgeschrieben :)
ich hab in den rechnungen oben den cot genommen müsste eigentlich stimmen..
[mm] -\bruch{\wurzel{3}}{3}*cot(t)
[/mm]
die restlichen rechnungen von mir waren auch alle mit dem cot(t) da er ja bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] 0 wird..
ja welche funktion muss ich da zeichnen ich hab ja 2 werte
x(t)=3cos(t) und $ [mm] y(t)=\sqrt{3}\cdot{}sin(t) [/mm] $
muss ich die noch irgendwie zusammensetzen zu einer funktion !?
mfg stargate
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Ja, die musst Du "zusammensetzen".
Nimm verschiedene t, dann erhältst Du entsprechend x und y, die Du auftragen kannst.
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hi
ja kann ich die auch zusammenseetzen zu [mm] y=\wurzel{3}*sin(3*cos(t))
[/mm]
weil ich muss es mit nem plot programm machen, dass würde dann so aussehen..
[Dateianhang nicht öffentlich]
und zur obigen rechnung nochmal da hatte ich ja [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] als nullstelle was nen minima war, wenn ich jetzt die koordianten will muss ich dann wieder diese formel benutzen x = r(t) cos t benutzen und für y=r(t)*sin(t) ???
mfg stargate
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hi
ok meine zeichnung von oben war falsch ich hab jetzt auch ne ellipse, aber nochmal zu meinen rechnungen für maxima und minima..
fürs minima hab ich ja [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] rausbekommen aber wie muss ich das jetzt noch umwandeln damit ich die koordinaten bekomme ??
ich brauch ja xE und yE ..
mfg stargate
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 So 21.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. der cot ist im Intervall [mm] 0,2\pi [/mm] 2 mal Null!
2. den gefundenen Wert für t in x(t),y(t) einsetzen ergibt die Koordinaten.
3. bei [mm] \pi/2 [/mm] muss eigentlich ein Max sein, sieh deine Ellipse an!
Gruss leduart
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hi
ja die nullstelle von der ersten ableitung ist [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
und wenn ich die [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] in die 2. ableitung einsetze kommt bei mit [mm] \bruch{\wurzel{3}}{9} [/mm] raus, was ja größer 0 ist und somit nen minima..
wenn ich dann wie du sagtest die [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] in x(t) und y(t) einsetze kommt folgendes raus x=0 und für [mm] y=\wurzel{3}
[/mm]
dann müsste ich die selbe rechnung noch für [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] durchführen..
ist das falsch ?? wüsste sonst nicht wo mein fehler liegt...
EDIT: ah ich seh grad es ist ja nur von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] definiert also ist [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] garnicht mehr enthalen, gibt es dann nur noch eine nullstelle ? bei der ersten ableitung bleibt ja der cot übrig und desssen nulsltelle ist ja [mm] \bruch{\pi}{2} +K\pi [/mm] die 2. nullstelle wäre dann höchstens [mm] \bruch{\pi}{2} +\pi [/mm] was noch im definitionsbereich liegt...
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Hallo stargate2k,
> hi
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> ja die nullstelle von der ersten ableitung ist
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> und wenn ich die [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] in die 2. ableitung
> einsetze kommt bei mit [mm]\bruch{\wurzel{3}}{9}[/mm] raus, was ja
> größer 0 ist und somit nen minima..
Es ist
[mm]\dot{x}\left(\bruch{\pi}{2}\right)=-3[/mm]
[mm]\ddot{x}\left(\bruch{\pi}{2}\right)=0[/mm]
[mm]\dot{y}\left(\bruch{\pi}{2}\right)=0[/mm]
[mm]\ddot{y}\left(\bruch{\pi}{2}\right)=-\wurzel{3}[/mm]
Danach ist
[mm]y''\left(\bruch{\pi}{2}\right)=\bruch{\ddot{y}\left(\bruch{\pi}{2}\right)\dot{x}\left(\bruch{\pi}{2}\right) -\ddot{x}\left(\bruch{\pi}{2}\right)\dot{y}\left(\bruch{\pi}{2}\right)}{\dot{x}^ {3}\left(\bruch{\pi}{2}\right)}<0[/mm]
Somit liegt an dieser Stelle ein Maximum vor.
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> wenn ich dann wie du sagtest die [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] in x(t) und
> y(t) einsetze kommt folgendes raus x=0 und für
> [mm]y=\wurzel{3}[/mm]
>
> dann müsste ich die selbe rechnung noch für [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm]
> durchführen..
>
> ist das falsch ?? wüsste sonst nicht wo mein fehler
> liegt...
>
> EDIT: ah ich seh grad es ist ja nur von 0 bis [mm]2\pi[/mm]
> definiert also ist [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] garnicht mehr enthalen,
> gibt es dann nur noch eine nullstelle ? bei der ersten
> ableitung bleibt ja der cot übrig und desssen nulsltelle
> ist ja [mm]\bruch{\pi}{2} +K\pi[/mm] die 2. nullstelle wäre dann
> höchstens [mm]\bruch{\pi}{2} +\pi[/mm] was noch im
> definitionsbereich liegt...
>
Gruß
MathePower
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