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Hallo. Ich habe leider eine kleine Frage zu der Berechnung von globalen und lokalen Extremwerten.
Ich gehe hierbei immer folgendermaßen vor.
Zunächst schaue ich mir an, in welchen Punkten meine Funktion nicht diff'bar ist.
Dann bilde ich die 1. Ableitung und 2. Ableitung.
Bei der ersten Ableitung suche ich die Nullstellen.
Nun berechne ich zunächst das globale Extremum:
Ich setze die Punkte in denen meine Funktion nicht definiert ist, sowie die Nullstellen aus der 1. Ableitung in meine Ausgangsfunktion ein. Sofern ein Intervall gegeben ist, setze ich auch noch die Intervallgrenzen ein. Größter Wert ist glob. Max, kleinster Wert ist glob. Min.
Nun berechne ich das lokale Extremum:
Ich setze die Nullstellen aus der 1. Ableitung in meine 2. Ableitung ein. folgt daraus f''(x)<0, haben wir ein lok. Max. folgt daraus f''(x)>0, habe wir ein lok. Min. folgt daraus f''(x)=0, haben wir kein lok. Extrmum. Sofern gilt f''(x)=0 und [mm] f'''(x)\not=0 [/mm] haben wir einen Sattelpunkt. Sofern ein Intervall gegeben ist, Untersuche ich den Grenzwert meiner Funktion an diesen Intervallgrenzen.
Ich hoffe es gibt nichts an diesem Vorgehen auszusetzen. Ich wäre wirklich dankbar, wenn das einer kontrollieren könnte, bevor ich mal eine AUfgabe posten würde.
MFG domenigge135
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Hallo
Ich wüsste nicht, was an dieser Vorgehensweise zu verbessern wäre.
Gruß 
Angelika
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Hi,
> Hallo. Ich habe leider eine kleine Frage zu der Berechnung
> von globalen und lokalen Extremwerten.
>
> Ich gehe hierbei immer folgendermaßen vor.
> Zunächst schaue ich mir an, in welchen Punkten meine
> Funktion nicht diff'bar ist.
> Dann bilde ich die 1. Ableitung und 2. Ableitung.
> Bei der ersten Ableitung suche ich die Nullstellen.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun berechne ich zunächst das globale Extremum:
> Ich setze die Punkte in denen meine Funktion nicht
> definiert ist, sowie die Nullstellen aus der 1. Ableitung
> in meine Ausgangsfunktion ein. Sofern ein Intervall gegeben
> ist, setze ich auch noch die Intervallgrenzen ein. Größter
> Wert ist glob. Max, kleinster Wert ist glob. Min.
>
Die Untersuchung der globalen Extrema läuft eigentlich genauso wie die Untersuchung der lokalen Extrema aber mit einem Zusatz. Du musst zusätzlich och die Ränder des Defintionsberechs untersuchen [mm] (\limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)) [/mm] Dann berechnest du von allen Extrema die y-Werte und Der höchste Funktionswert, der am Rand des Definitionsbereichs oder an einem Extremum angenommen wird, ist das globale Maximum, der niedrigste das globale Minimum.
> Nun berechne ich das lokale Extremum:
> Ich setze die Nullstellen aus der 1. Ableitung in meine 2.
> Ableitung ein. folgt daraus f''(x)<0, haben wir ein lok.
> Max. folgt daraus f''(x)>0, habe wir ein lok. Min. folgt
> daraus f''(x)=0, haben wir kein lok. Extrmum. Sofern gilt
> f''(x)=0 und [mm]f'''(x)\not=0[/mm] haben wir einen Sattelpunkt.
> Sofern ein Intervall gegeben ist, Untersuche ich den
> Grenzwert meiner Funktion an diesen Intervallgrenzen.
>
Ja
> Ich hoffe es gibt nichts an diesem Vorgehen auszusetzen.
> Ich wäre wirklich dankbar, wenn das einer kontrollieren
> könnte, bevor ich mal eine AUfgabe posten würde.
>
> MFG domenigge135
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Gut ich hab dann nämlich mal folgende Aufgabe.
[mm] f(x)=\bruch{3}{2}x^2-4x-\bruch{4}{x+1}, [/mm] auf dem Intervall [0,3]
Diese Funktion ist nicht diff'bar im Punkt [mm] x_0=-1.
[/mm]
[mm] f'(x)=3x-4+\bruch{4}{(x+1)^2} \Rightarrow f'(x)=x(3x^2+2x-5)=0, [/mm] mit den Nullstellen [mm] x_1=0, x_2=1 [/mm] und [mm] x_3=-\bruch{5}{3}
[/mm]
[mm] f''(x)=3-\bruch{4(x+1)^2}{(x+1)^4}
[/mm]
Ich komme nun zunächst zu den globalen Extrema.
wir haben ja im Prinzip [mm] x_1=0, x_2=1 [/mm] zu untersuchen, sowie die Intervallgrenze 3. Der rest fällt raus, da diese sich nicht in unserem Intervall befinden.
f(0)=-4, [mm] f(1)=-\bruch{9}{2}, f(3)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich habe also ein glob. max. bei f(3) und ein globales min. bei f(1)
nun komme ich zu den lokalen Extrema.
wir haben die selben Werte [mm] x_1=0, x_2=1 [/mm] zu untersuchen, sowie die Intervallgrenze 3. Auch hier fällt der rest raus, da sich dieser nicht in unserem Intervall befindet.
Obwohl ich mein Vorgehen ja beschrieben habe, komme ich nun allerdings trotzdem nicht so recht weiter. Ich weiß nicht was ich hier nun am besten mache. Hoffe ihr könnt mir hlefen. MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]f(x)=\bruch{3}{2}x^2-4x-\bruch{4}{x+1},[/mm] auf dem Intervall [0,3]
> Diese Funktion ist nicht diff'bar im Punkt [mm]x_0=-1.[/mm]
Wofür ist das wichtig? Ich dachte, du wolltest die Funktion nur auf dem Intervall [0,3] definieren?!
> [mm]f'(x)=3x-4+\bruch{4}{(x+1)^2} \Rightarrow f'(x)=x(3x^2+2x-5)=0,[/mm]
bitte formal etwas präziser:
[mm] $3x-4+\bruch{4}{(x+1)^2} [/mm] = 0 [mm] \Longleftrightarrow x(3x^2+2x-5)=0$.
[/mm]
> mit den Nullstellen [mm]x_1=0, x_2=1[/mm] und [mm]x_3=-\bruch{5}{3}[/mm]
> [mm]f''(x)=3-\bruch{4(x+1)^2}{(x+1)^4}[/mm]
rechne die 2. Ableitung bitte noch einmal sorgfältig nach.
> Ich komme nun zunächst zu den globalen Extrema.
warum suchst du nicht zuerst nach lokalen Extrema? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Das wäre sinnvoller, weil du für die globalen Extrema sowohl die lokalen Extrema als auch die Randwerte des Definitionsbereichs berücksichtigen mußt.
> wir haben ja im Prinzip [mm]x_1=0, x_2=1[/mm] zu untersuchen, sowie
> die Intervallgrenze 3. Der rest fällt raus, da diese sich
> nicht in unserem Intervall befinden.
genau.
> f(0)=-4, [mm]f(1)=-\bruch{9}{2}, f(3)=\bruch{1}{2}[/mm]
> Ich habe
> also ein glob. max. bei f(3) und ein globales min. bei
> f(1)
stimmt.
> nun komme ich zu den lokalen Extrema.
>
> wir haben die selben Werte [mm]x_1=0, x_2=1[/mm] zu untersuchen,
> sowie die Intervallgrenze 3. Auch hier fällt der rest raus,
> da sich dieser nicht in unserem Intervall befindet.
Deine Überlegungen sind korrekt.
Jedes globale Extremum ist immer auch lokal ein Extremum.
Umgekehrt gilt das natürlich nicht.
Zu untersuchen ist hier also tatsächlich nur noch die Stelle [mm] $x_1 [/mm] = 0$
Da es sich dabei um den linken Randpunkt des Definitionsbereichs handelt, reicht es im Prinzip zunächst aus, die 1. Ableitung dort zu testen. Wäre die positiv, hätten wir ein lok. Minimum, wäre sie negativ hätten wir ein lokales Maximum. Mach dir das an einer Zeichnung klar: Steigt die Funktion dort, muß es sich um ein Minimum handeln und umgekehrt. Da die 1. Ableitung dort aber Null ist und die nächste Nullstelle der 1. Ableitung erst wieder bei 1 liegt, kannst du irgendeinen Wert zwischen Null und Eins in die 1. Abl. einsetzen und damit testen. Alternativ kannst du natürlich auch die 2. Ableitung als hinreichendes Kriterium verwenden, aber das hätte den Nachteil, daß du die erst noch (korrekt) ermitteln müßtest und andererseits dieses Kriterium gelegentlich auch versagen kann, nämlich dann, wenn die 2. Ableitung dort selbst Null wäre.
Damit alles klar?
Mach dir bitte unbedingt eine Skizze, damit du meine Überlegungen nachvollziehen kannst.
Gruß
Will
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