Extremwerte < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe ein Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), [mm] (0,y_t) [/mm] und [mm] (x_t,0), [/mm] dessen Hypothenuse durch den Punkt (a,b) mit a,b>0 geht. Jetzt soll ich die Werte [mm] x_y [/mm] und [mm] y_y [/mm] bestimmen. Ich habe da raus: [mm] x_t=\bruch{at - b}{t} [/mm] und [mm] y_t=b [/mm] - at.
1. Ist das korrekt?
Jetzt soll ich als naechstes den Flaecheninhalt des Dreiecks bestimmen. Dabei hab ich raus:
f(x) = tx + y [mm] \Rightarrow [/mm] F(x) = [mm] \bruch{x_t^2}{2} [/mm] + [mm] y_tx_t
[/mm]
2. Ist das (auch) korrekt?
Danach soll ich ermitteln, fuer welches t der Flaecheninhalt des Dreiecks minimal wird. Okay, dachte ich mir, die Flaeche ist ja jetzt nichts Anderes als eine Funktion nach t. Wenn ich jetzt davon die erste Ableitung bilde, bekomme ich F'(x) = f(x) - [mm] y_t [/mm] = tx = [mm] t(\bruch{at - b}{t}) [/mm] = at - b. Wenn ich das = 0 setze, dann bekomm ich die Extremwerte, denn da, wo der Anstieg = 0 ist, nimmt der Graph der abgeleiteten Funktion ein Extremum an. Aber wie erkenn ich, ob es ein Minimum oder Maximum ist? Ein Freund von mir mein, wenn die zweite Ableitung an dem Punkt negativ ist, dann ist es ein Maximum, und Wenn sie positiv ist, dann ist es ein Minimum. Stimmt das? Wenn ja, wie kann man sich das logisch erklaeren; also wie kann man das zeigen?
Danke und Gruss,
Martin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Wo kommt denn plötzlich der Parameter $t_$ her? Ist hier über den vorgegebenen Punkt $P \ ( \ a \ ; \ b \ )$ noch etwas mehr vorgegeben? Oder über die Achsenabschnitte [mm] $x_t$ [/mm] bzw. [mm] $y_t$ [/mm] ?
Von daher sind mir Deine Ausführungen nicht ganz schlüssig.
Bitte poste doch auch mal die vollständige Aufgabenstellung.
Den Flächeninhalt des (rechtwinkligen) Dreieckes kannst Du auch schneller und einfacher ohne Integralrechnung über die Flächenformel für Dreiecke bestimmen:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} \times \text{Kathete 1} \times \text{Kathete 2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x_t*y_t [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 Mo 07.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Oh, entschuldige. Deswegen hat keiner geantwortet. Hatte vergessen zu erwähnen, dass der Anstieg der Hypothenuse durch t gegeben ist!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> Ich habe da raus: [mm]x_t=\bruch{at - b}{t}[/mm] und [mm]y_t=b[/mm] - at.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt soll ich als naechstes den Flaecheninhalt des Dreiecks
> bestimmen. Dabei hab ich raus:
>
> f(x) = tx + y [mm]\Rightarrow[/mm] F(x) = [mm]\bruch{x_t^2}{2}[/mm] + [mm]y_tx_t[/mm]
Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen, was Du da gerechnet hast.
Wende hier die Formel aus meiner obigen Antwort an:
$ [mm] A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] A_{a;b}(t) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}x_t\cdot{}y_t [/mm] \ = \ ... $
Setze nun die beiden Terme für [mm] $x_t$ [/mm] und [mm] $y_t$ [/mm] ein ...
> Danach soll ich ermitteln, fuer welches t der Flaecheninhalt des
> Dreiecks minimal wird.
Hier nun mit der Funktion [mm] $A_{a;b}(t)$ [/mm] eine Extremwertberechnung durchführen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
