Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 31.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Sei f(x,y) eine stetige Funktion. Welche Aussage ist wahr?
a) wenn die Funktion ein lokales Maximum und Minimum hat, dann besitzt sie auch ein globales Maximum und Minimum.
b) es kann sein, dass die Funktion nur ein globales inneres Maximum und Minimum hat, aber kein lokales.
c) wenn die Funktion ein lokales inneres Maximum und Minimum hat und der Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist, dann besitzt sie auch ein globales Maximum und Minimum.
d) wenn die Funktion ein lokales inneres Maximum und Minimum hat und der Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist, dann und nur dann besitzt sie auch ein globales Maximum und Minimum. |
Hallo,
ich wollte fragen, ob meine Lösung für diese Aufgabe richtig ist. In kursiv habe ich auch noch eine Frage, die mir unklar ist, formuliert.
Meine Begründung:
zu a): Falsch. Der Definitionsbereich könnte offen sein und damit Randextrema besitzen, die nie erreicht werden, da eben die Randpunkte nicht im Definitionsbereich inbegriffen sind.
Ähnlich argumentieren könnte man auch mit einem nicht beschränkten Definitionsbereich. Wenn x und y unendlich groß werden können, kann es auch unendlich große Randextrema geben.
zu b): Falsch. Jedes globale Maximum und Minimum, ob inneres oder am Rand, ist ein lokales Extremum.
zu c): Richtig. Dass die Funktion aber ein lokales inneres Maximum und Minimum hat, ist nicht wichtig. Dass die Funktion stetig und der Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist, ist die Voraussetzung dafür, dass der Extremwertsatz gilt, der wiederum aussagt, dass die Funktion mind. ein globales Minimum und ein globales Maximum hat.
Hier ist der Unterschied zu a) wichtig. Weil halt der Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist, können wir keine unendlichen großen Randextrema haben. Randextrema werden also erreicht und können global sein.
Ist die Begründung bis hierhin korrekt? Was mir noch unklar ist, ist, wieso die Funktion stetig sein muss? Warum ist das ein Kriterium für den Extremwertsatz? Gibt es auch Funktionen, deren Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist, aber weil die Funktion nicht stetig ist, gibt es kein globales Maximum und Minimum?
zu d): Falsch. wie schon bei c) erläutert, ist das lokale innere Maximum und Minimum nicht wichtig. Der Extremwertsatz ist hinreichend für die Existenz von mind. einem globalen Maximum und Minimum, aber nicht notwendig.
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:47 Mo 01.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei f(x,y) eine stetige Funktion. Welche Aussage ist wahr?
>
> a) wenn die Funktion ein lokales Maximum und Minimum hat,
> dann besitzt sie auch ein globales Maximum und Minimum.
>
> b) es kann sein, dass die Funktion nur ein globales inneres
> Maximum und Minimum hat, aber kein lokales.
>
> c) wenn die Funktion ein lokales inneres Maximum und
> Minimum hat und der Definitionsbereich abgeschlossen und
> beschränkt ist, dann besitzt sie auch ein globales Maximum
> und Minimum.
>
> d) wenn die Funktion ein lokales inneres Maximum und
> Minimum hat und der Definitionsbereich abgeschlossen und
> beschränkt ist, dann und nur dann besitzt sie auch ein
> globales Maximum und Minimum.
> Hallo,
>
> ich wollte fragen, ob meine Lösung für diese Aufgabe
> richtig ist. In kursiv habe ich auch noch eine Frage, die
> mir unklar ist, formuliert.
>
> Meine Begründung:
>
> zu a): Falsch. Der Definitionsbereich könnte offen sein
> und damit Randextrema besitzen, die nie erreicht werden, da
> eben die Randpunkte nicht im Definitionsbereich inbegriffen
> sind.
Gib ein konkretes Beispiel an, das zeigt, dass Aussage i.a. a) falsch ist !!
>
> Ähnlich argumentieren könnte man auch mit einem nicht
> beschränkten Definitionsbereich. Wenn x und y unendlich
> groß werden können, kann es auch unendlich große
> Randextrema geben.
>
>
> zu b): Falsch. Jedes globale Maximum und Minimum, ob
> inneres oder am Rand, ist ein lokales Extremum.
Richtig
>
> zu c): Richtig. Dass die Funktion aber ein lokales inneres
> Maximum und Minimum hat, ist nicht wichtig. Dass die
> Funktion stetig und der Definitionsbereich abgeschlossen
> und beschränkt ist, ist die Voraussetzung dafür, dass der
> Extremwertsatz gilt, der wiederum aussagt, dass die
> Funktion mind. ein globales Minimum und ein globales
> Maximum hat.
Richtig !
>
> Hier ist der Unterschied zu a) wichtig. Weil halt der
> Definitionsbereich abgeschlossen und beschränkt ist,
> können wir keine unendlichen großen Randextrema haben.
> Randextrema werden also erreicht und können global sein.
>
> Ist die Begründung bis hierhin korrekt? Was mir noch
> unklar ist, ist, wieso die Funktion stetig sein muss? Warum
> ist das ein Kriterium für den Extremwertsatz? Gibt es auch
> Funktionen, deren Definitionsbereich abgeschlossen und
> beschränkt ist, aber weil die Funktion nicht stetig ist,
> gibt es kein globales Maximum und Minimum?
Beispiel: D=[0,1] ist kompakt und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] sei def. durch
[mm] f(n)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in (0,1) \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für }x \in \{0,1\} \end{cases}.
[/mm]
f ist auf D nicht stetig. f hat auf D weder ein globales Maximum , noch ein globales Minimum.
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> zu d): Falsch. wie schon bei c) erläutert, ist das lokale
> innere Maximum und Minimum nicht wichtig. Der
> Extremwertsatz ist hinreichend für die Existenz von mind.
> einem globalen Maximum und Minimum, aber nicht notwendig.
Auch hier: belege durch ein Beispiel, dass Aussage d) i.a. falsch ist.
FRED
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>
> LG
> Mathics
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