Extremwertbestimmung Pyramide < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 09.10.2011 | | Autor: | Taiyou |
| Aufgabe | Aus 4 Stäben s soll ein pyramidenförmiges Zelt mit quadratischer Grundfläche errichtet werden. Der Rauminhalt V des Zeltes ist von der Höhe h abhängig.
a) Geben Sie die Funktionsgleichung an, die den Zusammenhang zwischen V und h angibt.
b) Ein Stab soll die Länge von 5 m haben. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.
c) Welche Höhe muss das Zelt haben, damit der Rauminhalt größtmöglich ist? |
Hallo,
ich verzweifel an der Aufgabe, mir fehlt der richtige Zugang.
Finde jetzt leider keine Möglichkeit das Bild einzuscannen, es geht aber um eine normale quadratische Pyramide. Gefunden werden soll eine Formel für eine Extermwertbestimmung. Dabei ist die Abhängigkeit des Volumens von der Kantenlänge entscheidend.
So weit bin ich in meinen Überlegungen:
Die Abhängigkeit resultiert aus dem Satz des Pythagoras. Dadurch, dass in der Pyramide nur rechtwinklige Dreiecke liegen müsste ich über c² = a² + b² auf die Höhe kommen, aber irgendwie komme ich nicht auf den richtigen Weg!
Ich brauche "nur" den Weg zur Formel von Augabe a), den Rest bekomme ich bestimmt selbst hin.
Vielen Dank für Hilfe
lG
Kathi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 09.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
gehe ich richtig in der Annahme, dass s, also die Seitenkante der Pyramide gegeben ist?
Dann gilt für die "Grunddiagonale" d der Quadratischen Grundfläche:
[mm] \left(\frac{d}{2}\right)^{2}+h^{2}=s^{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{d^{2}}{4}+h^{2}=s^{2}
[/mm]
Und gilt aber auch:
[mm] d^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}
[/mm]
Das in die erste Gleichung eingesetzt, ergibt:
[mm] \frac{2a^{2}}{4}+h^{2}=s^{2}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2}+h^{2}=s^{2}
[/mm]
Das ist der Zusammenhang zwischen a und h, also die Nebenbedingung.
Setze das nun in die Volumenfunktion ein, also in:
[mm] V=\frac{1}{3}a^{2}h
[/mm]
Hier macht es Sinn, die Nebenbedingung nach a² aufzulösen.
Marius
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