Extremwertbestimmung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die lokalen f : Extremwerte der Funktion [mm] \IR^3 [/mm] --> [mm] \IR
[/mm]
f(x,y,z) = [mm] (x+y)^3-12xy+z^2
[/mm]
Untersuchen sie ob globale Extremwerte existieren! |
Hi,
Ich wäre super nett wenn jemand die Aufgabe für mich korrigieren könnnte.
Hier meine Lösung:
Also erstmal partiell ableiten.
f'(x,y,z)=( [mm] 3(x+y)^2-12y [/mm] , [mm] 3(x+y)^2-12x [/mm] , 2z)
Jetzt null setzen
1. [mm] 3(x+y)^2-12y=0
[/mm]
2. [mm] 3(x+y)^2-12x=0
[/mm]
3. 2z =0
aus 3 folgt z=0.
Wenn ich 1 und 2 gleichsetze erhalte ich x=y
wenn ich das in 1 einsetze erhalte ich x=y=1 [mm] \cup [/mm] x=y=0
Das heißt meine kritischen Punkte sind
P1(0,0,0)
p2(1,1,0)
Jetzt berechne ich f''(x,y,z)
f''(x,y,z)= [mm] \pmat{ 6*(x+y) & 6*(x+y)-12 & 0 \\ 6*(x+y)-12 & 6*(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
f''(0,0,0)= [mm] \pmat{ 0 & -12 & 0 \\ -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
det(A11)= 0
d.h die Matrix ist an dieser Stelle indefinit
In P(0/0/0) gibt es kein Extremwert
f''(1,1,0)= [mm] \pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
det(A11)= 12
det(A22)= 144
det(A33) = 288
alle Haupabschnittsdeterminanten > 0
die Matrix ist positiv definit
Die Funktion hat im P2(1,1,0) ein lokales Minimum.
Da es sich um das einzige lokale Minimum handelt und dieFunktion unbeschränkt ist muss es sich um ein globales Minimum handeln. Kann ich das so sagen?
Vielen Dank
Gruß
Yannick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Mi 05.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Berechnen Sie die lokalen f : Extremwerte der Funktion
> [mm]\IR^3[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
>
> f(x,y,z) = [mm](x+y)^3-12xy+z^2[/mm]
>
> Untersuchen sie ob globale Extremwerte existieren!
> Hi,
>
> Ich wäre super nett wenn jemand die Aufgabe für mich
> korrigieren könnnte.
>
> Hier meine Lösung:
>
> Also erstmal partiell ableiten.
>
> f'(x,y,z)=( [mm]3(x+y)^2-12y[/mm] , [mm]3(x+y)^2-12x[/mm] , 2z)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt null setzen
>
> 1. [mm]3(x+y)^2-12y=0[/mm]
> 2. [mm]3(x+y)^2-12x=0[/mm]
> 3. 2z =0
>
> aus 3 folgt z=0.
> Wenn ich 1 und 2 gleichsetze erhalte ich x=y
> wenn ich das in 1 einsetze erhalte ich x=y=1 [mm]\cup[/mm] x=y=0
> Das heißt meine kritischen Punkte sind
>
> P1(0,0,0)
> p2(1,1,0)
>
> Jetzt berechne ich f''(x,y,z)
>
> f''(x,y,z)= [mm]\pmat{ 6*(x+y) & 6*(x+y)-12 & 0 \\ 6*(x+y)-12 & 6*(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> f''(0,0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 & 0 \\ -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> det(A11)= 0
> d.h die Matrix ist an dieser Stelle indefinit
> In P(0/0/0) gibt es kein Extremwert
>
> f''(1,1,0)= [mm]\pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> det(A11)= 12
> det(A22)= 144
> det(A33) = 288
>
> alle Haupabschnittsdeterminanten > 0
> die Matrix ist positiv definit
>
> Die Funktion hat im P2(1,1,0) ein lokales Minimum.
>
> Da es sich um das einzige lokale Minimum handelt und
> dieFunktion unbeschränkt ist muss es sich um ein globales
> Minimum handeln. Kann ich das so sagen?
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
> Yannick
Für den Rest gucke dir bitte die Antworten der anderer an.
Gruß
DieAcht
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> > 1. [mm]3(x+y)^2-12y=0[/mm]
> > 2. [mm]3(x+y)^2-12x=0[/mm]
> > 3. 2z =0
> >
> > aus 3 folgt z=0.
> > Wenn ich 1 und 2 gleichsetze erhalte ich x=y
> > wenn ich das in 1 einsetze erhalte ich x=y=1 [mm]\cup[/mm] x=y=0
>
> Das kann schon nicht stimmen!
Hallo,
wieso?
Es ist vielleicht nicht so schön aufgeschrieben.
Das Ergebnis der Bemühungen aber stimmt doch:
> > Das heißt meine kritischen Punkte sind
> >
> > P1(0,0,0)
> > p2(1,1,0)
LG Angela
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> Berechnen Sie die lokalen f : Extremwerte der Funktion
> [mm]\IR^3[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
>
> f(x,y,z) = [mm](x+y)^3-12xy+z^2[/mm]
>
> Untersuchen sie ob globale Extremwerte existieren!
> Hi,
>
> Ich wäre super nett wenn jemand die Aufgabe für mich
> korrigieren könnnte.
>
> Hier meine Lösung:
>
> Also erstmal partiell ableiten.
>
> f'(x,y,z)=( [mm]3(x+y)^2-12y[/mm] , [mm]3(x+y)^2-12x[/mm] , 2z)
>
> Jetzt null setzen
>
> 1. [mm]3(x+y)^2-12y=0[/mm]
> 2. [mm]3(x+y)^2-12x=0[/mm]
> 3. 2z =0
>
> aus 3 folgt z=0.
> Wenn ich 1 und 2 gleichsetze erhalte ich x=y
> wenn ich das in 1 einsetze erhalte ich x=y=1 [mm]\cup[/mm] x=y=0
>
> Das heißt meine kritischen Punkte sind
>
> P1(0,0,0)
> p2(1,1,0)
Hallo,
ja.
>
> Jetzt berechne ich f''(x,y,z)
>
> f''(x,y,z)= [mm]\pmat{ 6*(x+y) & 6*(x+y)-12 & 0 \\ 6*(x+y)-12 & 6*(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
Ja.
>
> f''(0,0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 & 0 \\ -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
Ja.
>
> det(A11)= 0
> d.h die Matrix ist an dieser Stelle indefinit
Es stimmt, daß die Matrix indefinit ist, aber mir ist überhaupt nict klar, welches Kriterium Du hier verwendest.
> In P(0/0/0) gibt es kein Extremwert.
Ja
>
> f''(1,1,0)= [mm]\pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> det(A11)= 12
> det(A22)= 144
> det(A33) = 288
>
> alle Haupabschnittsdeterminanten > 0
> die Matrix ist positiv definit
Ja.
>
> Die Funktion hat im P2(1,1,0) ein lokales Minimum.
Ja.
>
> Da es sich um das einzige lokale Minimum handelt und
> dieFunktion unbeschränkt ist muss es sich um ein globales
> Minimum handeln. Kann ich das so sagen?
Eher nicht.
Die Funktion hat an der Stelle (1,1,0) ein Minimum, es ist f(1,1,0)=-4
Es ist aber z.B. f(-1,-1,2)=-16, das errechnete Minimum ist also kein globales,
die Funktion ist nämlich nach unten unbeschränkt.
LG Angela
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> > Berechnen Sie die lokalen f : Extremwerte der Funktion
> > [mm]\IR^3[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
> >
> > f(x,y,z) = [mm](x+y)^3-12xy+z^2[/mm]
> >
> > Untersuchen sie ob globale Extremwerte existieren!
> >
Hallo Angela,
Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
> >
> > Ich wäre super nett wenn jemand die Aufgabe für mich
> > korrigieren könnnte.
> >
> > Hier meine Lösung:
> >
> > Also erstmal partiell ableiten.
> >
> > f'(x,y,z)=( [mm]3(x+y)^2-12y[/mm] , [mm]3(x+y)^2-12x[/mm] , 2z)
> >
> > Jetzt null setzen
> >
> > 1. [mm]3(x+y)^2-12y=0[/mm]
> > 2. [mm]3(x+y)^2-12x=0[/mm]
> > 3. 2z =0
> >
> > aus 3 folgt z=0.
> > Wenn ich 1 und 2 gleichsetze erhalte ich x=y
> > wenn ich das in 1 einsetze erhalte ich x=y=1 [mm]\cup[/mm] x=y=0
> >
> > Das heißt meine kritischen Punkte sind
> >
> > P1(0,0,0)
> > p2(1,1,0)
>
> Hallo,
>
> ja.
> >
> > Jetzt berechne ich f''(x,y,z)
> >
> > f''(x,y,z)= [mm]\pmat{ 6*(x+y) & 6*(x+y)-12 & 0 \\ 6*(x+y)-12 & 6*(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Ja.
>
> >
> > f''(0,0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 & 0 \\ -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> Ja.
> >
> > det(A11)= 0
> > d.h die Matrix ist an dieser Stelle indefinit
>
> Es stimmt, daß die Matrix indefinit ist, aber mir ist
> überhaupt nict klar, welches Kriterium Du hier
> verwendest.
Ich habe mir gedacht, wenn eine der Hauptabschnittsdeterminanten 0 ist kann die Matrix nicht mehr positiv oder negativ definit werden. In diesem Fall ist die erste Hauptabschnittsdeterminante 0.
>
> > In P(0/0/0) gibt es kein Extremwert.
>
> Ja
> >
> > f''(1,1,0)= [mm]\pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> >
> > det(A11)= 12
> > det(A22)= 144
> >det(A33) = 288
> >
> > alle Haupabschnittsdeterminanten > 0
> > die Matrix ist positiv definit
>
> Ja.
>
> >
> > Die Funktion hat im P2(1,1,0) ein lokales Minimum.
>
> Ja.
>
> >
> > Da es sich um das einzige lokale Minimum handelt und
> > dieFunktion unbeschränkt ist muss es sich um ein globales
> > Minimum handeln. Kann ich das so sagen?
>
> Eher nicht.
>
> Die Funktion hat an der Stelle (1,1,0) ein Minimum, es ist
> f(1,1,0)=-4
>
>
> Es ist aber z.B. f(-1,-1,2)=-16, das errechnete Minimum
> ist also kein globales,
> die Funktion ist nämlich nach unten unbeschränkt.
>
ok, hast du noch eine andere Idee wie ich das zeigen kann? Weil einen Punkt zu finden, in dem f(x,y,z)< -4 ist manchmal nicht so leicht.
Macht eine Grenzwertbetrachtung Sinn?
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\limes_{y\rightarrow\ 0} \limes_{z\rightarrow\ 0}(x+y)^3-12xy+z^2= -\infty
[/mm]
> LG Angela
>
Gruß Yannick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Berechnen Sie die lokalen f : Extremwerte der Funktion
> > > [mm]\IR^3[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
> > >
> > > f(x,y,z) = [mm](x+y)^3-12xy+z^2[/mm]
> > >
> > > Untersuchen sie ob globale Extremwerte existieren!
> > >
>
>
> Hallo Angela,
>
> Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
>
>
> > >
> > > Ich wäre super nett wenn jemand die Aufgabe für mich
> > > korrigieren könnnte.
> > >
> > > Hier meine Lösung:
> > >
> > > Also erstmal partiell ableiten.
> > >
> > > f'(x,y,z)=( [mm]3(x+y)^2-12y[/mm] , [mm]3(x+y)^2-12x[/mm] , 2z)
> > >
> > > Jetzt null setzen
> > >
> > > 1. [mm]3(x+y)^2-12y=0[/mm]
> > > 2. [mm]3(x+y)^2-12x=0[/mm]
> > > 3. 2z =0
> > >
> > > aus 3 folgt z=0.
> > > Wenn ich 1 und 2 gleichsetze erhalte ich x=y
> > > wenn ich das in 1 einsetze erhalte ich x=y=1 [mm]\cup[/mm] x=y=0
> > >
> > > Das heißt meine kritischen Punkte sind
> > >
> > > P1(0,0,0)
> > > p2(1,1,0)
> >
> > Hallo,
> >
> > ja.
> > >
> > > Jetzt berechne ich f''(x,y,z)
> > >
> > > f''(x,y,z)= [mm]\pmat{ 6*(x+y) & 6*(x+y)-12 & 0 \\ 6*(x+y)-12 & 6*(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
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> > Ja.
> >
> > >
> > > f''(0,0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 & 0 \\ -12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> >
> > Ja.
> > >
> > > det(A11)= 0
> > > d.h die Matrix ist an dieser Stelle indefinit
> >
> > Es stimmt, daß die Matrix indefinit ist, aber mir ist
> > überhaupt nict klar, welches Kriterium Du hier
> > verwendest.
>
> Ich habe mir gedacht, wenn eine der
> Hauptabschnittsdeterminanten 0 ist kann die Matrix nicht
> mehr positiv oder negativ definit werden. In diesem Fall
> ist die erste Hauptabschnittsdeterminante 0.
Das ist kein Argument ! Es gibt Matrizen, die sind weder positiv definit noch negativ definit, noch indefinit.
> >
> > > In P(0/0/0) gibt es kein Extremwert.
> >
> > Ja
> > >
> > > f''(1,1,0)= [mm]\pmat{ 12 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > det(A11)= 12
> > > det(A22)= 144
> > >det(A33) = 288
> > >
> > > alle Haupabschnittsdeterminanten > 0
> > > die Matrix ist positiv definit
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > > Die Funktion hat im P2(1,1,0) ein lokales Minimum.
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > > Da es sich um das einzige lokale Minimum handelt und
> > > dieFunktion unbeschränkt ist muss es sich um ein globales
> > > Minimum handeln. Kann ich das so sagen?
> >
> > Eher nicht.
> >
> > Die Funktion hat an der Stelle (1,1,0) ein Minimum, es ist
> > f(1,1,0)=-4
> >
> >
> > Es ist aber z.B. f(-1,-1,2)=-16, das errechnete Minimum
> > ist also kein globales,
> > die Funktion ist nämlich nach unten unbeschränkt.
> >
> ok, hast du noch eine andere Idee wie ich das zeigen kann?
> Weil einen Punkt zu finden, in dem f(x,y,z)< -4 ist
> manchmal nicht so leicht.
> Macht eine Grenzwertbetrachtung Sinn?
Ja
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\limes_{y\rightarrow\ 0} \limes_{z\rightarrow\ 0}(x+y)^3-12xy+z^2= -\infty[/mm]
Na, ja....
Besser: $f(x,0,0) [mm] =x^3 \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
FRED
>
>
> > LG Angela
> >
>
> Gruß Yannick
>
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Wie kann ich denn Eine Matrix auf Indefinitheit überprüfen? Geht das nicht mit Hilfe der Hauptabschnittsdeterminanten?
LG
Yannick
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Hallo,
> Wie kann ich denn Eine Matrix auf Indefinitheit
> überprüfen? Geht das nicht mit Hilfe der
> Hauptabschnittsdeterminanten?
Ich denke du meinst damit die Minoren? Ja, damit kann man das überprüfen.
Eine andere schöne Varianten ist es zu prüfen, wie die EIgenwerte sind. (Dieses Kriterium ist m.M.n. leichter zu merken). Bei den Minoren ist die Gefahr höher, dass man mal etwas verwechselt.
Eine schöne Übersicht findest du auch hier:
http://homepage.univie.ac.at/johann.brandstetter/mathe2_folien/definitheit.pdf
>
> LG
> Yannick
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Danke, super Übersicht
LG
Yannick
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