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| Aufgabe | | Ein gleichschenkeliges Trapez mit dem Böschungswinkel α=60° ist Querschnitt eines 100m langen Stollens mit der vorgegebenen Querschnittsfläche A. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Größe der (etwa mit Spritzbeton) zu befestigenden Wand- und Bodenflächen minimal wird? |
Kann mir bei dieser Aufgabe bitte jemand helfen
ich komme echt nicht weiter. Ich bin mir schon bei der Hauptbedingung nicht sicher: genügt es wenn a+2b minimal sein muss. Oder geht es um die ganzen Flächen, also: 100.a+2.100.b muss minimal werden ???
Und dann hab ich noch ein Problem mit der Nebenbedingung: Vom Trapez hab ich eigentlich nur die Fläche und den Winkel gegeben. Aber ich hab keine Ahnung wie ich da eine Bedingung herleiten soll. Kann mir da jemand weiterhelfen????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 So 05.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Ninchen2000,
minimal werden soll der Umfang des Trapezes, wenn auch die Decke unter "Wand und Bodenflächen" zählt. Andernfalls sind tatsächlich nur die Seitenwände und der Boden gemeint.
Durch die Vorgaben für das Trapez (Böschungswinkel und Symmetrie) ist es durch die Angabe von Höhe und Grundfläche festgelegt.
Also: Aus Höhe und Grundlinie kannst Du den Umfang ausrechnen, der minimal werden soll.
Die Nebenbedingung ist die Fläche des Trapezes. Auch die läßt sich anhand der Vorgaben aus Höhe und Grundlinie berechnen.
Die 100 m brauchst Du nicht.
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Hallo! Ich hab zu dieser Aufgabe noch eine weitere Frage. Also Hauptbedingung und Nebenbedingung ist mir klar. Wenn die HB, der Umfang des Trapezes ist, dann habe ich: U=a+2b+c Es geht jetzt also darum b und c durch a=der Grundkante und h=der Höhe auszudrücken. Aber wie??? Ich komme einfach nicht drauf, vielleicht sehe ich es einfach nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ninchen!
Bitte stelle auch Rückfragen zu bestehenden Aufgaben auch im entsprechenden Thread. Danke.
Zunächst einmal sollte man sich eine Skizze machen und die entsprechenden Größen eintragen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann kannst Du die Winkelfunktionen verwenden, da Du ja einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit [mm] $\alpha [/mm] \ = \ 60°$ gegeben hast.
Ich würde hier alle Größen in Abhängigkeit von $b_$ ermitteln.
[mm] $\sin(60°) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{h}{b}$ $\gdw$ [/mm] $h \ = \ [mm] b*\sin(60°) [/mm] \ = \ [mm] b*\bruch{1}{2}*\wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\cos(60°) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\Delta}{b}$ $\gdw$ $\Delta [/mm] \ = \ [mm] b*\cos(60°) [/mm] \ = \ [mm] b*\bruch{1}{2}$
[/mm]
$c \ = \ [mm] a+2*\Delta$
[/mm]
Damit wird für den Umfang:
$U \ = \ a+2*b+c \ = \ [mm] a+2*b+a+2*\Delta [/mm] \ = \ [mm] 2*(a+b+\Delta) [/mm] \ = \ [mm] 2*\left(a+b+b*\bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ 2a+3b$
Und aus der Flächenformel können wir nun die letzte Variable ersetzen bzw. ermitteln und in die Zielfunktion (= Hauptbedingung) einsetzen:
$A \ = \ [mm] \bruch{a+c}{2}*h [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a+(a+2*\Delta)}{2}*h [/mm] \ = \ [mm] (a+\Delta)*h [/mm] \ = \ [mm] \left(a+b*\bruch{1}{2}\right)*b*\bruch{1}{2}*\wurzel{3} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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