Extremwertaufgaben < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 22.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Berechne Minimum und Maximum von [mm] $f(x,y)=4x^3-3xy$ [/mm] auf [mm] $x^2+y^2^\le1 [/mm] $ |
Empfiehlt ihr hier mir die Lagrange Multiplikatormethode oder einfach "gewöhnliche" Extremwertberechnung? Brauche ich für das Aufgabenlösnen einen besonderen Trickoder kann ich diese ähnlich wie im indimesnionalen angehen?
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Hallo clemenum,
> Berechne Minimum und Maximum von [mm]f(x,y)=4x^3-3xy[/mm] auf
> [mm]x^2+y^2^\le1[/mm]
> Empfiehlt ihr hier mir die Lagrange Multiplikatormethode
> oder einfach "gewöhnliche" Extremwertberechnung? Brauche
> ich für das Aufgabenlösnen einen besonderen Trickoder
> kann ich diese ähnlich wie im indimesnionalen angehen?
Für das "=" in der Nebenbedingung benutzt
Du die Lagrange Multiplikatorenmethode.
Für das "<" in der Nebenbedingung
die "gewöhnliche" Extremwertberechnung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 22.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Berechne Maxima und Minima von [mm] $4x^2-3xy$ [/mm] auf $ [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1 $
$ [mm] f_x= 12x^2-3y [/mm] $
[mm] $f_y=-3x [/mm]
[mm] f_x=0 \Leftrightarrow 12x^2 [/mm] = 3y [mm] \Leftrightarrow [/mm] y= [mm] 4x^2 [/mm]
[mm] f_y= [/mm] -3x=0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0
[mm] f_{xx} [/mm] = 24x
[mm] f_{yy} [/mm] = 0
[mm] f_{xy}=-3=f_{yx} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Bei $ (0,0) $ liegt kritischer Punkt vor.
Da die zweiten Ableitungen Null sind, handelt es sich um einen Sattelpunkt und die Hessematrix kann erspart bleiben.
Ist mein Vorgehen korrekt bzw. bin ich so schon fertig? Ich meine, mein gefundener Wert liegt ja in der Nebenbedingung, also brauche ich diese gar nicht zu benutzen, oder?
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Hallo clemenum,
> Berechne Maxima und Minima von [mm]4x^2-3xy[/mm] auf [mm]x^2+y^2 \le 1[/mm]
>
> [mm]f_x= 12x^2-3y[/mm]
> [mm]$f_y=-3x[/mm]
> [mm]f_x=0 \Leftrightarrow 12x^2[/mm] = 3y [mm]\Leftrightarrow[/mm] y= [mm]4x^2[/mm]
> [mm]f_y=[/mm] -3x=0 [mm]\Leftrightarrow[/mm] x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] y=0
> [mm]f_{xx}[/mm] = 24x
> [mm]f_{yy}[/mm] = 0
> [mm]f_{xy}=-3=f_{yx}[/mm] $
>
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Bei [mm](0,0)[/mm] liegt kritischer Punkt vor.
>
>
> Da die zweiten Ableitungen Null sind, handelt es sich um
> einen Sattelpunkt und die Hessematrix kann erspart bleiben.
>
> Ist mein Vorgehen korrekt bzw. bin ich so schon fertig? Ich
Für den Teil mit "<" bist Du fertig.
> meine, mein gefundener Wert liegt ja in der Nebenbedingung,
> also brauche ich diese gar nicht zu benutzen, oder?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 22.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Nach der Betrachtung von [mm] $f(x,y,\lambda)=4x^3-3xy-\lambda(x^2+y^2-1)$ [/mm]
und dem zugehörigen GLS
I [mm] $\frac{12x^2-3y}{2x}=\lambda [/mm] $
II [mm] $\frac{-3x}{2y}= \lambda [/mm] $
III $ [mm] x^2+y^2=1 [/mm] $
resultierten mir als Lösungen z.B.
$x=0,421554, y=0,906803, [mm] \lambda= [/mm] 0,697319$...
1. Frage: Sind solchen "eigenartigen Zahlen" Glauben an ihre Rchtigkeit zu schenken?
2. Frage: Genügt es nun meine Lösung, die durch Nullsetzung der Ableitungen erhaltenen Werte in die HB. rückeinzusetzen, um die Aufgabe ganz zu lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 22.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Also, es kommen mir je vier verschiedene Lösungen heraus.
Bedeutet dies, dass es vier verschiedene Extrema gibt?
Wie kann ich nun herausfinden, von welcher Art diese sind, durch die zweite Ableitung vielleicht, aber diese hilft doch hier nicht weiter?
Mit dem Einsetzen der Lösungen in die Hauptbedingung müsste ich eigentlich schon fertig sein, oder gehört da noch etwas dazu?
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Hallo clemenum,
> Also, es kommen mir je vier verschiedene Lösungen heraus.
> Bedeutet dies, dass es vier verschiedene Extrema gibt?
Es gibt zunächst mal 4 Kandidaten für Extrema.
> Wie kann ich nun herausfinden, von welcher Art diese sind,
> durch die zweite Ableitung vielleicht, aber diese hilft
> doch hier nicht weiter?
Nun, Du kannst die Nebenbedingung nach y auflösen,
und in die Hauptbedingung einsetzen und diese dann
zweimal differenzieren, damit Du die Art des Extremums
feststellen kannst.
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> Mit dem Einsetzen der Lösungen in die Hauptbedingung
> müsste ich eigentlich schon fertig sein, oder gehört da
> noch etwas dazu?
Gruss
MathePower
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Hallo clemenum,
> Nach der Betrachtung von
> [mm]f(x,y,\lambda)=4x^3-3xy-\lambda(x^2+y^2-1)[/mm]
> und dem zugehörigen GLS
> I [mm]\frac{12x^2-3y}{2x}=\lambda[/mm]
> II [mm]\frac{-3x}{2y}= \lambda[/mm]
> III [mm]x^2+y^2=1[/mm]
> resultierten mir als Lösungen z.B.
> [mm]x=0,421554, y=0,906803, \lambda= 0,697319[/mm]...
>
> 1. Frage: Sind solchen "eigenartigen Zahlen" Glauben an
> ihre Rchtigkeit zu schenken?
Rechne das doch nach.
> 2. Frage: Genügt es nun meine Lösung, die durch
> Nullsetzung der Ableitungen erhaltenen Werte in die HB.
> rückeinzusetzen, um die Aufgabe ganz zu lösen?
Ja, in der Regel reicht das auch.
Gruss
MathePower
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