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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Justice |
| Aufgabe | | Aus betriebswirtschaftlichen Gründen soll bei der Herstellung von Verpackungen möglichst wenig Materialkosten entstehen. Eine Spielzeugverpackung mit einem Volumen von 800 m³ soll eine Länge von 20 cm besitzen. Wie sind breite und Höhe zu wählen, damit möglichst wenig Material verbraucht wird. ? |
Wie finde ich die Haupt- und Nebenbedingung heraus. Ich habe bei allen Aufgaben das Problem das diese immer falsch sind. Könnt ihr mir vlt. eine kurze Zusammnfassung geben, wie ich bei solchen Aufgaben am besten und einfachsten vorgehe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für alle Antworten Justice
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Hallo Justice, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da scheint mir eine Einheit falsch zu sein (Tippfehler?):
> Aus betriebswirtschaftlichen Gründen soll bei der
> Herstellung von Verpackungen möglichst wenig Materialkosten
> entstehen. Eine Spielzeugverpackung mit einem Volumen von
> 800 m³ soll eine Länge von 20 cm besitzen.
Ich nehme an, das Volumen soll 800 [mm] \blue{cm^3} [/mm] betragen. Richtig?
Jedenfalls mache ich damit schon mal weiter.
> Wie sind Breite
> und Höhe zu wählen, damit möglichst wenig Material
> verbraucht wird. ?
Die Hauptbedingung ist ja die Aussage über die Materialkosten. Es wird wohl vorausgesetzt, dass das Material unabhängig von der Zuschnittgröße Kosten proportional zur verwendeten Fläche aufwirft. Wir brauchen also die Oberfläche der Verpackung. Dabei sind weitere stillschweigende Annahmen getroffen: 1) Klebelaschen und Überstände dürfen vernachlässigt werden, 2) die Verpackung ist quaderförmig.
Nennen wir die Breite b und die Höhe h, die Länge setze ich direkt ein.
Dann folgt die Hauptbedingung aus der Oberfläche des Quaders, und die ist:
A=2*(20b+20h+bh)
Die Nebenbedingung lautet: 20bh=800
Mit Hilfe der Nebenbedingung kannst Du nun eine Variable abhängig von der andern bestimmen (zB b(h)) und dann in der Hauptbedingung ersetzen (dann hättest Du da nur noch die Variable h).
Damit hast Du dann eine Funktion A(h) aufgestellt, deren Minimum Du suchst.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Do 22.01.2009 | | Autor: | Justice |
Ich habe die Aufgabe von einem Lehrer so bekommen wie sie in meiner Fragestellung steht.
Kann ich so für alle Optiemierungsaufgaben vorgehen bzw. auf was muss ich achten um die Haupt- und Nebenbedingung immer richtig zu haben.
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Hallo Jutice,
ich weiß nicht, ob man da ein allgemeines Verfahren angeben kann.
In der Aufgabe muss deutlich werden, wonach gesucht wird - hier sind das die niedrigsten Materialkosten. Es geht also um eine Extremwertaufgabe (niedrigste), und dass die Kosten proportional von der Oberfläche des Quaders abhängen, kann man nur annehmen.
Das, was gesucht wird, gibt jedenfalls die Gleichung für die Hauptbedingung.
Dann kann es verschiedene Nebenbedingungen geben, in Euren Aufgaben meistens aber nur eine, selten zwei. Hier ist es das Volumen.
Übrigens wäre der Karton über 63m breit und hoch, wenn tatsächlich 800 [mm] \red{m^3} [/mm] Inhalt gefordert würden. Da würde man bei der dritten Seite von 20cm sicher nicht mehr von der "Länge" sprechen. Außerdem wäre die Verpackung verschiedentlich ungeeignet, weil sie mit keinem Landtransportmittel mehr zu bewältigen wäre. 
Mit ein bisschen Übung findest Du die nötigen Gleichungen aber bestimmt schnell. Eine gewisse Denkleistung ist dafür aber jedesmal nötig; "Kochrezepte" sind da eher schädlich.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Do 22.01.2009 | | Autor: | Justice |
Vielen Dank reverend
Sobald ich wieder Fragen habe werden ich wieder schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Justice |
Die HB wäre ja ohne Zahlen A=2*(a*b+a*c+b*c) bzw. A=2*(20b+20h+bh). Warum nehme ich ich die Oberflächenberechnung, ich suche nur die Seiten b und h.
Bei der Nebenbedingung 20bh=800 ist kein a in der Formel also a*bh=800.Warum setze ich hier ebenfalls die 20 ein und wie setze ich diese nun in die HB ein.
Ich denke das ich nun beim einsetzen die Funktion 800=2*(20b+20h+20bh) erhalte. Wie komme ich auf die Zielfunktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Justice,
Auch von mir herzlich
> Die HB wäre ja ohne Zahlen A=2*(a*b+a*c+b*c) bzw.
> A=2*(20b+20h+bh). Warum nehme ich ich die
> Oberflächenberechnung, ich suche nur die Seiten b und h.
Du bekommst Breite und Höhe bekommst Du aber nur über die Oberfläche. Die Oberfläche soll ja minimal werden.
> Bei der Nebenbedingung 20bh=800 ist kein a in der Formel
> also a*bh=800.Warum setze ich hier ebenfalls die 20 ein und
> wie setze ich diese nun in die HB ein.
In der Aufgabe steht ja, dass die Länge 20cm sein soll, also ist a=20.
Du löst nun die Nebenbedingung z.B. nach h. Dann erhälst Du
$ h= [mm] \bruch{40}{b} [/mm] $
Das setzt Du jetzt in die HB ein:
$ A=2 [mm] \cdot [/mm] (20b+20 [mm] \cdot \bruch{40}{b} +b\cdot \bruch{40}{b}) [/mm] $
Dies ist Deine Zielfunktion. Also vereinfachen und Minimum suchen.
> Ich denke das ich nun beim einsetzen die Funktion
> 800=2*(20b+20h+20bh) erhalte.
Was hast Du hier gemacht?
> Wie komme ich auf die
> Zielfunktion?
s.o.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Justice |
Bei der Nebenbedingung 20bh=800. Warum setze ich die 20 ein. Das versteh ich nicht. Wenn a= 20cm ist warum ist b dann auch gleich zwanzig. es heißt ja das du b und h bestimmen sollst.
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Hallo
für den Quader gilt doch
V=a*b*h
du kennst [mm] V=800cm^{3} [/mm] und a=20cm, diese Werte kannst du sofort einsetzen (ich schreibe ohne Einheiten)
800=20*b*h Division durch 20
40=b*h Division durch b
[mm] h=\bruch{40}{b}
[/mm]
jetzt wird der Term [mm] \bruch{40}{b} [/mm] in die Gleichung für die Oberfläche eingesetzt, also h wird durch [mm] \bruch{40}{b} [/mm] ersetzt, das ist ja oben schon geschehen, b ist dann über die Extremwertbetrachtung zu berechnen, hast du b= ...., kannst du diesen Wert in [mm] h=\bruch{40}{b} [/mm] einsetzen. um die Höhe zu berechnen,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Fr 23.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Justice,
wenn Du die Werte erst einmal nicht einsetzt, dann behältst Du vielleicht leichter den Überblick, vielleicht aber auch nicht. Irgendwann im Lauf der Rechnung musst Du sie einsetzen, weil die Aufgabe sonst nicht lösbar ist.
Das kann ganz am Ende sein, wenn Du das Minimum schon bestimmt hast. Dann steht in der Formel für b (wenn Du danach aufgelöst hast, und nicht nach h, was ja auch geht) aber noch der Parameter a, und dessen Wert ist gegeben. Erst wenn Du diese Vorgabe mit nutzt, bekommst Du eine Lösung.
Ich finde es meistens einfacher, von Anfang an alles einzusetzen, was vorliegt, weil sich dann oft schon Terme zusammenfassen lassen, z.B. wenn ich so etwas habe wie [mm] ax^2+a^2x^2, [/mm] a aber schon vorliegt.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Justice |
Erstmal vielen Dank an alle die mir geholfen haben.
Die Rechnung habe ich jetzt verstanden.
Vielen Vielen Dank Justice
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