Extremwertaufgabe(n) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 28.12.2004 | | Autor: | Disap |
Servus. Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe:
Für ein neu anzulegendes Stadion (Innenbereich: Rechteck mit zwei aufgesetzten Halbkreisen) werden alternativ zwei Bedingungen gestellt:
a) Die 400m Bahn soll eine möglichst große Gesamtfläche umschließen, um viel Platz für weitere leichtathletische Disziplinen zu erhalten.
Wonach ist hier überhaupt gesucht?
b) hier war die Frage, wie maximal ein Rechteck im Innenbereich sein kann. Das ist ja noch irgendwie logisch und ich habe verstanden, was gesucht ist.
Aber bei Aufgabe a würde ich das eher so verstehen, dass man den Flächeninhalt der Halbkreise + Rechteck nehmen muss
Also wäre A = [mm] \pi r^{2} [/mm] + a*b
Aber das kann ja gar nicht. Zum einen müsste man da mehr rechnen als bei Aufgabe b und das Niveau ist zu hoch für meine Schule.
In den Lösungen der Frage steht: kreisrunder Platz mit d = [mm] \bruch{400}{\pi}
[/mm]
Warum muss das Ding denn kreisrund sein, denn immerhin hat man ja noch die Gerade der Laufbahn, sodass man doch wieder ein Rechteck + die zwei Halbkreise hat?
mfG Disap
|
|
| |
|
Hallo Disap
(a) hast du eigentlich ganz richtig verstanden. Du hast eine Figur aus 2 Halbkreisen und einem Rechteck bestehend. Und die Frage ist nun was der maximale inhalt einer solchen Figur mit Umfang 400 Meter ist. Das Rechteck hat nun die Seitenlängen a,b und der Kreis den Durchmesser a! Man erhält also:
[mm] $A=\frac{1}{4}\pi a^2+a*b$
[/mm]
Andererseits gilt für den Umfang: [mm] $U=a*\pi [/mm] +2b=400$! Löst man nun nach a auf, so erhält man: [mm] $a=\frac{400-2b}{\pi}$
[/mm]
Oben eingesetzt erhält man nun eine von b abhängige Flächenfunktion:
[mm]A(b)=\frac{1}{4}\pi*\left[\frac{400-2b}{\pi}\right]^2+\frac{400-2b}{\pi}*b[/mm]
Um damit jedoch etwas anfangen zu können muss man ten Term zunächst etwas vereinfachen:
[mm]A(b)=\frac{400-2b}{\pi}*\left[\frac{1}{4}*\frac{400-2b}{\pi}*\pi +b\right][/mm]
[mm]=\frac{400-2b}{\pi}*\left[\frac{400-2b}{4}+b\right][/mm]
[mm]=\frac{400-2b}{\pi}*\left[100+\frac{1}{2}b\right]=\frac{40000-200b+200b-b^2}{\pi}[/mm]
[mm]A(b)=\frac{40000-b^2}{\pi}[/mm]
Aus dem letzten Term kann man jetzt wunderbar ablesen, dass der Flächeninhalt maximal wird, wenn [mm] b^2=0 [/mm] also insbesondere b=0 gilt!
Im übrigen braucht es dich nicht verunsichern dass du nun eine Kreisfläche erhältst, denn das Verhältnis von Flächeninhalt : Umfang ist in der Ebene bei einem Kreis am geringsten! und diese "Anwendungsaufgaben" oft Realitätsferner als man denken mag!!!
Mit b=0 ergibt sich sofort, $ [mm] U=\pi*a \Rightarrow a=\frac{400}{\pi}$. [/mm]
Bei (b) ist mir leider nicht ganz klar was gefragt ist...
Gruß Samuel
|
|
|
|
