Extremwertaufgabe mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Sa 07.06.2008 | | Autor: | fighter |
| Aufgabe | Ein trapezförmiger Kanal soll so gebaut werden, dass bei konstantem Querschnitt A (gleichschenkeliges Trapez) der benetzte Umfang möglichst klein ist. #
Der Kanal ist charakterisiert durch die Bodenbreite x, die Wassertiefe y und den Böschungswinkel g, gemessen mit der Senkrechten,
Zeigen Sie, Dass für die optimale Wassertiefe gilt:
[mm] y^2 [/mm] = (A cos g) / (2- sin g) , wobei g = 30 °
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Hi,
Habe zuerst meine Hauptbedingung aufgestellt:
U(x,y,g) = 2x+2*(y/cos g) + 2*y/Sin g
Nebenbedingung:
A = (x+2(y/Sin g) + x) / 2 * y
Stimmen meine Bedingungen?
mfg
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Hallo!
Der angebene Umfang ist nicht korrekt, das nur die Basis und die beiden Schenkel des Trapezes nass (d.h. benetzt) werden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 07.06.2008 | | Autor: | fighter |
Habe jetzt die Bedingung neu aufgestellt:
U(x,y,g) = x+2*(y/Cos g)
Dannach habe ich die Lagransche Multiplikation angewendet:
L(x,y,g,l) =x+2(y/Cos g) + x y l + [mm] y^2/Sin [/mm] g
Lx: 1+ y l
Ly: 2/Cos g + x l + 2 l y / Sin g
Lg: 2 y sin g / [mm] cos^2 [/mm] g + [mm] y^2 [/mm] *(-cos [mm] g)/sin^2 [/mm] g l
Ll: x y + [mm] y^2/sin [/mm] g
Wie kann ich dieses gleichungssystem jetzt sinnvoll lösen?
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo fighter!
Es ist auch noch die Nebenbedingung A = const einzubringen!
Hast du A schon berichtigt?
Es gilt also: A = y(x+y [mm] \tan [/mm] g)
Auflösen nach x liefert
x = [mm] \bruch{A}{y}-y\tan [/mm] g
In den Umfang eingesetzt
U = [mm] \bruch{A}{y} -y\tan [/mm] g [mm] +\bruch{2y}{\cos g}
[/mm]
U = [mm] \bruch{A}{y} +\bruch{y}{\cos g}(2-\sin [/mm] g)
Differenzieren nach y zeigt
[mm] \bruch{dU}{dy} [/mm] = [mm] -\bruch{A}{y^2}+\bruch{2 -\sin g}{\cos g}
[/mm]
Notwendig für Extremum ist
[mm] \bruch{dU}{dy} [/mm] = 0, also
[mm] \bruch{A}{y^2} =\bruch{2 -\sin g}{\cos g}
[/mm]
oder
[mm] y^2 [/mm] = [mm] \bruch{A \cos g}{2- \sin g} [/mm] (*)
Dies ist die Behauptung!
Z.z. bleibt noch [mm] g=30^\circ
[/mm]
Ableitung von (*) ergibt
[mm] \bruch{dy^2}{dg} [/mm] = [mm] \bruch{A(-\sin g)(2-\sin g)-A\cos g (-\cos g)}{(2-\sin g)^2}
[/mm]
Nullsetzen der Zählers ergibt
[mm] -2\sin [/mm] g + [mm] \sin^2 [/mm] g + [mm] \cos^2 [/mm] g = 0
oder
1 - 2 [mm] \sin [/mm] g = 0
bzw.
[mm] \sin [/mm] g = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Da hier nur spitze Winkel sinnvoll sind, folgt g = [mm] 30^\circ
[/mm]
Ok??
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Eine Lösung mit ohne Lagrange-Multiplikatoren ist in meiner Mitteilung enthalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 So 08.06.2008 | | Autor: | fighter |
Ok dein lösungsweg ist mir klar, nur wie kann ich das mit der Lagranschen Multiplikation machen?
mfg
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