Extremwertaufgabe mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Di 20.05.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Finde die Extremwerte der folgenden Funktion unter der Nebenbedingung:
f(x,y) = x³ + 4y³ min!
NB: x + y = 3 |
Hallo!
Komme bei diesem Bsp leider nicht weiter; hoffentlich könnt Ihr mir helfen!
Habe zunächst mal die Lagrange-Funktion gebildet:
L [mm] (x,y,\lambda) [/mm] = x³ + 4y³ - [mm] \lambda [/mm] * (x + y - 3)
Davon den Gradient:
grad L = [mm] \vektor{3x²-\lambda \\ 12y²-\lambda \\ -(x + y - 3)}
[/mm]
Nun gibt es 3 Bedingungen:
I: 3x² = [mm] \lambda [/mm]
II: 12y² = [mm] \lambda [/mm]
III: x + y = 3
Aus Bedingung I wäre x = [mm] \wurzel{\bruch{\lambda}{3}}
[/mm]
Aus Bedingung II wäre y = [mm] \wurzel{\bruch{\lambda}{12}}
[/mm]
Dies in Bedingung III eingesetzt ergibt mir einen Wert für [mm] \lambda [/mm] = 21.6
Mit diesem [mm] \lambda-Wert [/mm] erhalte ich für
x [mm] \approx [/mm] 2.68
und y [mm] \approx [/mm] 1.34
So, und Ihr ahnt jetzt meine Frage (bezogen auf Bedingung III): 2.68 + 1.34 [mm] \not= [/mm] 3 sondern 4.02
Was habe ich falsch gemacht, oder ist in der Angabe ein Fehler?
Bitte um Hilfe!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Di 20.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Finde die Extremwerte der folgenden Funktion unter der
> Nebenbedingung:
>
> f(x,y) = x³ + 4y³ min!
>
> NB: x + y = 3
> Hallo!
>
> Komme bei diesem Bsp leider nicht weiter; hoffentlich könnt
> Ihr mir helfen!
Diese Aufgabe lässt sich mit schulischen Mitteln lösen.
Aus x+y=3 folgt y=3-x und damit [mm] y^3=27-27x+9x^2-x^3.
[/mm]
Damit ist f nur noch von x abhängig, und es gilt [mm] f(x)=x^3+108-108x+36x^2-4x^3.
[/mm]
Das kannst du noch zusammenfassen, ableiten, die Ableitung Null setzen...
Viele Grüße
Abakus
>
> Habe zunächst mal die Lagrange-Funktion gebildet:
>
> L [mm](x,y,\lambda)[/mm] = x³ + 4y³ - [mm]\lambda[/mm] * (x + y - 3)
>
> Davon den Gradient:
>
> grad L = [mm]\vektor{3x²-\lambda \\ 12y²-\lambda \\ -(x + y - 3)}[/mm]
>
> Nun gibt es 3 Bedingungen:
>
> I: 3x² = [mm]\lambda[/mm]
>
> II: 12y² = [mm]\lambda[/mm]
>
> III: x + y = 3
>
> Aus Bedingung I wäre x = [mm]\wurzel{\bruch{\lambda}{3}}[/mm]
>
> Aus Bedingung II wäre y = [mm]\wurzel{\bruch{\lambda}{12}}[/mm]
>
> Dies in Bedingung III eingesetzt ergibt mir einen Wert für
> [mm]\lambda[/mm] = 21.6
>
> Mit diesem [mm]\lambda-Wert[/mm] erhalte ich für
> x [mm]\approx[/mm] 2.68
> und y [mm]\approx[/mm] 1.34
>
> So, und Ihr ahnt jetzt meine Frage (bezogen auf Bedingung
> III): 2.68 + 1.34 [mm]\not=[/mm] 3 sondern 4.02
>
> Was habe ich falsch gemacht, oder ist in der Angabe ein
> Fehler?
> Bitte um Hilfe!
>
> mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 20.05.2008 | | Autor: | medion |
Danke für die schnelle Antwort!
Ja, das wäre dann die Substitutionsmethode und diese funktioniert - wenn ich das noch richtig im Gedächtnis habe - nur dann, wenn in der NB keine Potenz vorhanden ist (oder so ähnlich).
Aus diesem Grund sollen wir auch primär die Lagrange-Funktion verwenden.
Hättest du für dieses Bsp auch einen Lösungsansatz mittels Lagrange-Funktion? Bzw weißt du wo mein Fehler liegt?
mfg
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Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Ja, das wäre dann die Substitutionsmethode und diese
> funktioniert - wenn ich das noch richtig im Gedächtnis habe
> - nur dann, wenn in der NB keine Potenz vorhanden ist (oder
> so ähnlich).
Die Substitutionsmethode geht auch mit Potenzen.
> Aus diesem Grund sollen wir auch primär die
> Lagrange-Funktion verwenden.
>
> Hättest du für dieses Bsp auch einen Lösungsansatz mittels
> Lagrange-Funktion? Bzw weißt du wo mein Fehler liegt?
>
> mfg
Schau mal in meinen anderen post.
LG, Martinius
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Hallo medion,
> Finde die Extremwerte der folgenden Funktion unter der
> Nebenbedingung:
>
> f(x,y) = x³ + 4y³ min!
>
> NB: x + y = 3
> Hallo!
>
> Komme bei diesem Bsp leider nicht weiter; hoffentlich könnt
> Ihr mir helfen!
>
> Habe zunächst mal die Lagrange-Funktion gebildet:
>
> L [mm](x,y,\lambda)[/mm] = x³ + 4y³ - [mm]\lambda[/mm] * (x + y - 3)
>
> Davon den Gradient:
>
> grad L = [mm]\vektor{3x²-\lambda \\ 12y²-\lambda \\ -(x + y - 3)}[/mm]
>
> Nun gibt es 3 Bedingungen:
>
> I: 3x² = [mm]\lambda[/mm]
>
> II: 12y² = [mm]\lambda[/mm]
>
> III: x + y = 3
>
> Aus Bedingung I wäre x = [mm]\wurzel{\bruch{\lambda}{3}}[/mm]
>
> Aus Bedingung II wäre y = [mm]\wurzel{\bruch{\lambda}{12}}[/mm]
>
> Dies in Bedingung III eingesetzt ergibt mir einen Wert für
> [mm]\lambda[/mm] = 21.6
>
> Mit diesem [mm]\lambda-Wert[/mm] erhalte ich für
> x [mm]\approx[/mm] 2.68
> und y [mm]\approx[/mm] 1.34
>
> So, und Ihr ahnt jetzt meine Frage (bezogen auf Bedingung
> III): 2.68 + 1.34 [mm]\not=[/mm] 3 sondern 4.02
>
> Was habe ich falsch gemacht, oder ist in der Angabe ein
> Fehler?
> Bitte um Hilfe!
>
> mfg
Nach dem Du deine Lagrange-Funktion abgeleitet und Null gesetzt hast, sollte der Lagrange-Multiplikator so bald als möglich aus der Rechnung eliminiert werden, da ihm keine weitere Bedeutung zukommt!
Also, aus:
I: [mm]3x^2=\lambda[/mm]
II: [mm]12y^2=\lambda[/mm]
III: x + y = 3
wird:
[mm]3x^2=12y^2[/mm]
[mm] $3*(3-y)^2=12y^2$
[/mm]
[mm] $y^2+2y-3=0$
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] = -3 [mm] y_2 [/mm] = 1
[mm] x_1 [/mm] = 6 [mm] x_2 [/mm] = 2
LG, Martinius
Edit: Fehler korrigiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 20.05.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Martinius, kleiner Rechenfehler: [mm] y_1=-3 [/mm] und [mm] x_1=6, [/mm] Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 20.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Steffi,
vielen Dank für den Hinweis. Ich werde es korrigieren.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 22.05.2008 | | Autor: | medion |
Kann es sein, dass es 8 kritische Punkte gibt?
die wären dann nämlich:
[mm] P_{1}(6,-3,108)
[/mm]
[mm] P_{2}(6,-3,12)
[/mm]
[mm] P_{3}(6,1,108)
[/mm]
[mm] P_{4}(6,1,12)
[/mm]
[mm] P_{5}(2,-3,108)
[/mm]
[mm] P_{6}(2,-3,12)
[/mm]
[mm] P_{7}(2,1,108)
[/mm]
[mm] P_{8}(2,1,12)
[/mm]
Wenn man nun diese Punkte in die Hesse Matrix einsetzt, und dann die Determinante davon ausrechnet, weiß man, ob es ein Minimizer/Maximizer ist.
H = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1\\ 1 & 6x & 0\\ 1 & 0 & 24y}
[/mm]
[mm] P_{1}(6,-3,108) [/mm] --> lokales Max.
[mm] P_{2}(6,-3,12) [/mm] --> lokales Max.
[mm] P_{3}(6,1,108) [/mm] --> globales Max.
[mm] P_{4}(6,1,12) [/mm] --> globales Max.
[mm] P_{5}(2,-3,108) [/mm] --> globales Min.
[mm] P_{6}(2,-3,12) [/mm] --> globales Min.
[mm] P_{7}(2,1,108) [/mm] --> lokales Min.
[mm] P_{8}(2,1,12) [/mm] --> lokales Min.
Da [mm] \lambda [/mm] in der Grafik keine Rolle spielt, sind die Punkte [mm] P_{3} [/mm] & [mm] P_{4} [/mm] gleich. Kann man dann diese Punkte zu einem zusammenfassen, da es ja nur 1 globales Maximum/Minimum geben kann?
mfg
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> Kann es sein, dass es 8 kritische Punkte gibt?
> die wären dann nämlich:
>
> [mm]P_{1}(6,-3,108)[/mm]
> [mm]P_{2}(6,-3,12)[/mm]
> [mm]P_{3}(6,1,108)[/mm]
> [mm]P_{4}(6,1,12)[/mm]
> [mm]P_{5}(2,-3,108)[/mm]
> [mm]P_{6}(2,-3,12)[/mm]
> [mm]P_{7}(2,1,108)[/mm]
> [mm]P_{8}(2,1,12)[/mm]
Hallo,
es hatte Dir Martinius doch schon das GS gelöst.
Zunächst mal interessiert das [mm] \lambda [/mm] nicht weiter, es kommt in den Koordinaten für die kritischen Punkte nicht vor. Du bildest doch von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ab.
Aber auch wenn wir von den [mm] \lambda [/mm] absehen: Du hast zuviele Punkte. Da sind doch Punkte dabei, die die Nebenbedingung gar nicht erfüllen.
Ich nehme an, daß es daran liegt, daß Du bei der Lösung des Gleichungssystems etwas schlampig gewesen bist.
Wenn man Martinius' Weg folgt, erhalt man ja zunächst y=1 oder y=-3.
Für y=1 folgt dann x=2, und
für y=-3 folgt x=6.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:39 Do 22.05.2008 | | Autor: | medion |
> Hallo,
>
> es hatte Dir Martinius doch schon das GS gelöst.
>
> Zunächst mal interessiert das [mm]\lambda[/mm] nicht weiter, es
> kommt in den Koordinaten für die kritischen Punkte nicht
> vor. Du bildest doch von [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ab.
>
Habe gerade meine Unterlagen aus der Lehrveranstaltung durchgeschaut und da fließt das Lambda immer in die Koordinaten mit ein. Ist das falsch?
> Aber auch wenn wir von den [mm]\lambda[/mm] absehen: Du hast zuviele
> Punkte. Da sind doch Punkte dabei, die die Nebenbedingung
> gar nicht erfüllen.
>
Heißt das, dass es sich nur dann um einen kritischen Punkt handelt, wenn dieser die NB erfüllt? Dachte nämlich, dass sich die kritischen Punkte - ungeachtet der NB - aus den verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten der X-, Y-, und Lambda-Werte ergeben.
> Ich nehme an, daß es daran liegt, daß Du bei der Lösung des
> Gleichungssystems etwas schlampig gewesen bist.
>
> Wenn man Martinius' Weg folgt, erhalt man ja zunächst y=1
> oder y=-3.
>
> Für y=1 folgt dann x=2, und
> für y=-3 folgt x=6.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Also, bist zur Ermittlung der Y- und X-Werte leuchtet mir alles ein. Nachdem es zwei verschiedene X-Werte gibt und eine Bedingung 3x² = [mm] \lambda [/mm] lautet, gibt es auch zwei verschiedene [mm] \lambda-Werte.
[/mm]
Dann würden sich nur mehr 4 kritische Punkte ergeben:
[mm] P_{1}(6,-3,108) [/mm] ->ist ein Maximum
[mm] P_{2}(6,-3,12) [/mm] ->ist ein Maximum
[mm] P_{3}(2,1,108) [/mm] ->ist ein Minimum
[mm] P_{4}(2,1,12) [/mm] ->ist ein Minimum
Stimmt diese Lösung?
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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