Extremwertaufgabe Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Die Punkte A1(0|a), A1(0|-a) und B(b|0) bilden die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks. |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie x1 so, dass die Summe der Quadrate der Entfernungen des Punktes P1(x1|0) zu den drei Eckpunkten minimal wird. Welcher (bes.) Punkt ist dann P1? |
| Aufgabe 3 | | Bestimmen Sie x2 so, dass die Summe der Entfernungen des Punktes P2(x2|0) zu den drei Eckpunkten minimal wird. Bestimmen sie auch den Winkel (A1, P2, A2). |
| Aufgabe 4 | | Für welches Dreieck sind die Punkte P1 und P2 identisch? |
Zur zweiten Aufgabe habe ich folgendes gerechnet:
A(x) = [mm] sqrt((x-0)^2 [/mm] + [mm] (0-a)^2)^2 [/mm] + [mm] sqrt((x-0)^2 [/mm] + [mm] (0-a)^2)^2 [/mm] + [mm] sqrt((x-b)^2 [/mm] + [mm] (0-0)^2)^2
[/mm]
A(x) = [mm] 3x^2+2a^2-2xb+b^2
[/mm]
A'(x) = 6x-2b
A''(x) = 6
Nullstelle von A'(x):
0 = 6x - 2b | + 2b
2b = 6x | : 6
x = b/3
Jetzt ist die Frage: Woher weiß ich denn jetzt welcher besonderer Punkt das jetzt sein soll?
Zur dritten Aufgabe:
A(x) = [mm] 2*sqrt(x^2+a^2)+ [/mm] b - x
A'(x) = [mm] 2x/sqrt(x^2+a^2) [/mm] + 1
Nullstelle von A'(x):
0 = [mm] 2x/sqrt(x^2+a^2) [/mm] + 1 | * [mm] sqrt(x^2+a^2)
[/mm]
0 = 2x + [mm] sqrt(x^2+a^2) [/mm] | -2x
-2x = [mm] sqrt(x^2+a^2) [/mm] | quartieren
[mm] 4x^2 [/mm] = [mm] x^2+a^2 [/mm] | - [mm] x^2
[/mm]
[mm] 3x^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] | :3
[mm] x^2 [/mm] = [mm] a^2/3 [/mm] | Wurzel ziehen
[mm] x_1 [/mm] = a/sqrt(3)
[mm] x_2 [/mm] = -a/sqrt(3)
in A''(x) einsetzen:
A''(x) = [mm] (2*sqrt(x^2+a^2) [/mm] - [mm] x/sqrt(x^2+a^2))/(x^2+a^2)
[/mm]
Ohne das jetzt komplett durchzurechnen schätze ich jetzt ein, dass bei -a/sqrt(3) ein Minimum vorliegt. Ich hoffe, dass das so ok ist und nicht erwartet wird, dass ich das komplett durchrechne.
Den Winkel habe ich folgendermaßen berechnet:
Strecke 0 zu A1: [mm] sqrt((0-0)^2 [/mm] + [mm] (0-a)^2) [/mm] = a
Strecke 0 zu P2: [mm] sqrt((0-a/sqrt(3))^2 [/mm] + [mm] (0-0)^2) [/mm] = a/sqrt(3)
tan [mm] \alpha [/mm] = a/(a/sqrt(3)) = sqrt(3) | arctan
[mm] \alpha [/mm] = arctan(sqrt(3) = 60 Grad
Ist das soweit richtig?
Und bei der letzten Aufgabe, habe ich überhaupt keine Vorstellung wie man diese berechnet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 23.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo MrItalian!
> Zur zweiten Aufgabe habe ich folgendes gerechnet:
> A(x) = [mm]sqrt((x-0)^2[/mm] + [mm](0-a)^2)^2[/mm] + [mm]sqrt((x-0)%5E2[/mm] + [mm](0-a)^2)^2[/mm] + [mm]sqrt((x-b)%5E2[/mm] + [mm](0-0)^2)^2[/mm]
In der zweiten Wurzel muss es [mm] $(0-(-a))^2 [/mm] \ = \ (0 \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] a)^2$ [/mm] lauten, was aber nichts am Ergebnis ändert.
> A(x) = [mm]3x^2+2a^2-2xb+b^2[/mm]
> A'(x) = 6x-2b
> A''(x) = 6
> Nullstelle von A'(x):
> 0 = 6x - 2b | + 2b
> 2b = 6x | : 6
> x = b/3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt ist die Frage: Woher weiß ich denn jetzt welcher
> besonderer Punkt das jetzt sein soll?
Das sollte man evtl. wissen, dass bei einem Dreieck der Schwerpunkt des Dreiecke mit dem Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden identisch ist.
Und der Schwerpunkt teilt diese Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis $1:2_$ bzw. [mm] $\bruch{1}{2}:\bruch{2}{3}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Di 23.04.2013 | | Autor: | MrItalian |
> > Jetzt ist die Frage: Woher weiß ich denn jetzt welcher
> > besonderer Punkt das jetzt sein soll?
>
> Das sollte man evtl. wissen, dass bei einem Dreieck der
> Schwerpunkt des Dreiecke mit dem Schnittpunkt der drei
> Seitenhalbierenden identisch ist.
> Und der Schwerpunkt teilt diese Seitenhalbierenden jeweils
> im Verhältnis [mm]1:2_[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{2}:\bruch{2}{3}[/mm] .
Vielen Dank für deine Hilfe soweit.
Hast du ein Link zu diesen Thema? Ich kenne mich damit leider nicht aus.
>
>
> Gruß
> Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 23.04.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
zu 3.:
Bei der Ableitung muss es am Ende A'(x) = ... - 1 heißen.
Dieser Fehler wirkt sich aber durch das spätere Quadrieren (nicht : "Quartieren", das bedeutet doch "Vierteln") nicht auf das Ergebnis aus : [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm] ist richtig.
Bei deiner Winkelberechnung ist [mm] \alpha [/mm] nur der halbe gesuchte Winkel.
zu 4. :
Wenn [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] ist, so muss doch offenbar [mm] \bruch{b}{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{\wurzel{3}} [/mm] sein.
Versuche mal nachzuweisen, dass das genau die Bedingung für ein gleichseitiges Dreieck ist.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Di 23.04.2013 | | Autor: | MrItalian |
> Wenn [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] ist, so muss doch offenbar [mm]\bruch{b}{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm] sein.
> Versuche mal nachzuweisen, dass das genau die Bedingung
> für ein gleichseitiges Dreieck ist.
>
> Gruß Sax.
Ich glaube hier fehlt mir sehr viel Wissen darüber. Das einzige was ich eben herausfinden konnte über die Formelsammlung war:
Umkreisradius: r = [mm] a/3*\wurzel{3}
[/mm]
Also in diesen Fall:
[mm]\bruch{b}{3}[/mm] = [mm]\bruch{a}{\wurzel{3}}[/mm] | [mm] *\wurzel{3}
[/mm]
Dann kommt raus:
[mm]\bruch{b\wurzel{3}}{3}[/mm] = [mm]a[/mm]
Könnt ihr mir ansonsten einen entsprechenden Link geben?
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