Extremwertaufgabe 11 Klasse < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Mi 02.07.2008 | | Autor: | froehli |
Ich habe eine Aufgabe die ich nicht alleine Lösen kann.
Selbst mein Lehrer kam in der Stunde nicht auf die richtige lösung.
Stellt euch einen Acker mit danebenliegender Straße vor.
Eine Person Steht 400m von der Straße entfernt.
Die Straße ist 1000m Lang.
Die Person bewegt sich auf der Straße 2x so Schnell wie auf dem Acker.
Die Frage ist nun wie die Person am schnellsten ans Ende der Straße kommt.
Also muss sie wohl irgendwie so Laufen, dass sie erst richtung Straße läuft und dann dort die letzten meter mit doppelter Geschwindigkeit.
Mein Ansatz:
x = die strecke von Berührung der Straße bis nach Unten. (Damit man da nen Rechten Winkel für Phytagoras hat)
[mm] 2v_{1} [/mm] = [mm] v_{2}
[/mm]
HB: [mm] t=v_{1}\*a+(100-x)\v_{2}
[/mm]
NB: [mm] a=\wurzel{400^{2}+x^{2}}
[/mm]
Vernünftig ausgerechnet bekomme ich die aufgabe leider nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> HB: [mm]t=v_{1}\*a+(100-x)\v_{2}[/mm]
> NB: [mm]a=\wurzel{400^{2}+x^{2}}[/mm]
2 Kleinigkeiten, 1. müsste es wohl nicht v*a sondern eher [mm] \bruch{a}{v} [/mm] heissen, da t = [mm] \bruch{a}{v}, [/mm] weiterhin müsste da wohl (1000-x) stehen, da die Straße ja 1000 Meter lang ist und hinten brauchen wir auch ne Zeit, also müsste da wohl eher stehen [mm] \bruch{1000-x}{2v}.
[/mm]
Mal ausführlich:
[mm]t = t_A + t_S[/mm]
Nach [mm]v = \bruch{s}{t}[/mm] gilt:
[mm]v_S = \bruch{s_S}{t_S}[/mm] und [mm]v_A = \bruch{s_A}{t_A}[/mm]
umgeformt:
[mm]t_S = \bruch{s_S}{v_S}[/mm] und [mm]t_A = \bruch{s_A}{v_A}[/mm]
weiterhin gilt [mm]v_S = 2v_A[/mm]
also [mm]t = \bruch{s_S}{2v_A} + \bruch{s_A}{v_A}[/mm]
faktor rausziehen:
[mm]t = \bruch{1}{v_A}\left(\bruch{s_S}{2} + s_A\right)[/mm]
Wie man also leicht erkennt, ist die ganze Aufgabe nicht wirklich von der Grundgeschwindigkeit abhängig (sofern eine vorhanden ist  ).
Minimiere also die Funktion:
[mm]\bruch{s_S}{2} + s_A = \bruch{1000-x}{2} + \sqrt{x^2 + 400^2} [/mm]
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
Es gilt doch: $a \ := \ [mm] \bruch{\Delta v}{\Delta t}$ $\Rightarrow$ [/mm] $t \ = \ [mm] \bruch{v}{a}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Loddar
[mm]v = \bruch{s}{t} => v*t = s => t = \bruch{s}{v}[/mm]
Substituiere s durch a....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gono!
Das kommt davon, wenn man nur die Hälfte liest ... ich hatte mit $a_$ die Beschleunigung im Sinn.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Mi 02.07.2008 | | Autor: | froehli |
ich meinte mit a nicht die beschleunigung sondern eine strecke in einem Dreieck, dass ich mir gedacht habe.
War leider etwas missverständlich ausgedrückt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Blech |
Wie schon geschrieben kann man die tatsächlichen Geschwindigkeiten ignorieren, und zu minimieren ist:
[mm] $2*\sqrt{400^2+c^2}+1000-c$
[/mm]
(ob man jetzt die Wurzel mal 2 nimmt, oder den hinteren Term halbiert, macht natürlich keinen Unterschied)
Ableiten, gleich 0 setzen:
[mm] $\frac{2c}{\sqrt{400^2+c^2}}-1\overset{!}{=}0$
[/mm]
[mm] $\gdw 2c=\sqrt{400^2+c^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw c=\frac{400}{\sqrt{3}}$
[/mm]
Das ist ein Minimum, weil die zweite Ableitung
[mm] $2-\frac{4c}{400^2+c^2}>0$ [/mm]
für alle c zwischen 0 und 1000.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mi 02.07.2008 | | Autor: | froehli |
Vielen dank erstmal.
Aber wie sieht denn nun genau der schnellstmögliche Weg aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Do 03.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Vielen dank erstmal.
>
> Aber wie sieht denn nun genau der schnellstmögliche Weg
> aus?
Steht doch dort.
[mm] x=\frac{400}{\sqrt{3}}
[/mm]
Zu dem Punkt läufst Du in direkter Linie durch den Acker und dann der Straße entlang.
Alle Wege, die nicht in direkter Linie führen, kannst Du abkürzen, indem Du direkt zu dem Punkt läufst, wo der Weg in die Straße mündet. Also besteht der optimale Weg aus 2 Geraden, die sich in obigem Punkt schneiden.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 06.07.2008 | | Autor: | froehli |
Also heißt es das er auf dem Punkt am acker
230 Meter Zurücklegt.
Aber wo kommt er an und in welchem Winkel läuft er.
Das ergibt sich mir irgendwie nicht.
Wenn er nähmlich 400 meter von der Straße weg ist und dann 230 Meter auf dem acker läuft, dann ist er ja immer noch nicht auf der straße...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 06.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das x ist denk ich dein a, also das Stück der Strasse, das er nicht läuft.
auf der Strasse läuft er dann noch 1000-x
das Stück auf dem Acker ist [mm] s_a=\wurzel{400^2+x^2} [/mm] also länger als 400.
der Winkel ist dann durch [mm] tan\alpha=x/400 [/mm] gegeben.
mach ne Zeichnung, dann siehst dus!
Wenn du nicht gemerkt hast, dass x nicht die Strecke auf dem Acker ist, hast du dir die Rechnung nicht genau genug angesehen!
Gruss leduart
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