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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Mi 29.08.2007 | | Autor: | PhL |
| Aufgabe | | Von einer rechteckigen Glasplatte mit den Seiten a=100cm und b=60cm sei an einer Ecke dein Stück von der Form eines rechtwinkligen Dreiecks abgesprungen. Die Katheten dieses Dreiecks seien c=10cm und d=4cm. Es soll c auf a und d auf b fallen. Aus der verbliebenen Scheibe soll eine rechteckige Scheibe von möglichst großer Fläche geschnitten werden. |
Hallo erstmal, bin neu hier, hab das Forum über Google gefunden und ein bisschen rumgesurft.
Mir ist aufgefallen, dass man hier schnelle und gute Hilfe bekommen kann,
deshalb hab ich mich hier mal angemeldet. :)
Ich bin in der 12. Klasse eines Gymnasiums und wurde von meinem Lehrer gebeten,
nächsten Dienstag einen "Vortrag" über eine Aufgabe zu halten, im Klartext heißt das, dass ich sie an der Tafel vorstelle und meine Schritte erkläre, etc.
Die Aufgabenstellung hab ich oben abgetippt, ich habe auch schon einen Ansatz.
Ich weiß, dass diese Aufgabe sehr beliebt und schon oft hier thematisiert wurde,
leider fand ich immer kleinere Abweichungen oder unklare Hilfestellungen...
Ich hoffe, dass ihr mir hier weiterhelfen könnt.
Mittels den anderen Hilfestellungen habe ich bereits einen Ansatz:
Gesucht ist der Flächeninhalt A der durch (a-x)(b-y)=(100-x)*(60-y) definiert ist.
Meine Extremalbedingung lautet also A=6000-100y-60x+xy.
Die Nebenbedingung fand ich damit raus, dass ich das Rechteck samt ausgebrochenem Dreieck in ein Koordinatensystem gezeichet habe
und herausfand, dass die Geradengleichung des Hypothenusenstücks des Dreiecks mit y=(2/5)x+56 definiert ist (y=mx+b, m=4/10=2/5, b=54, da a-d=56).
Eingesetzt in die Extremalbedingung ergibt das die Zielfunktion A(x)=(2/5)x²-44x+400.
Wenn ich jetzt x mittels Ableitung berechne, komme ich auf x=35,2, eingesetzt in die Nebenbedingung ergibt das y=70,08.
Da gilt A=(a-x)(b-y) und in meinem Fall y>b ist, ergäbe das eine negative Länge.
Ist mein Ansatz richtig? Wenn ja, wo habe ich was falsch gemacht?
Oder ist die Aufgabe anders zu lösen?
Ich hoffe, dass ihr mir schnell helfen könnt, es ist wichtig!
Danke im Vorraus. :)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, PhL,
> Von einer rechteckigen Glasplatte mit den Seiten a=100cm
> und b=60cm sei an einer Ecke dein Stück von der Form eines
> rechtwinkligen Dreiecks abgesprungen. Die Katheten dieses
> Dreiecks seien c=10cm und d=4cm. Es soll c auf a und d auf
> b fallen. Aus der verbliebenen Scheibe soll eine
> rechteckige Scheibe von möglichst großer Fläche geschnitten
> werden.
> Hallo erstmal, bin neu hier, hab das Forum über Google
> gefunden und ein bisschen rumgesurft.
> Mir ist aufgefallen, dass man hier schnelle und gute Hilfe
> bekommen kann,
> deshalb hab ich mich hier mal angemeldet. :)
>
> Ich bin in der 12. Klasse eines Gymnasiums und wurde von
> meinem Lehrer gebeten,
> nächsten Dienstag einen "Vortrag" über eine Aufgabe zu
> halten, im Klartext heißt das, dass ich sie an der Tafel
> vorstelle und meine Schritte erkläre, etc.
> Die Aufgabenstellung hab ich oben abgetippt, ich habe auch
> schon einen Ansatz.
> Ich weiß, dass diese Aufgabe sehr beliebt und schon oft
> hier thematisiert wurde,
> leider fand ich immer kleinere Abweichungen oder unklare
> Hilfestellungen...
> Ich hoffe, dass ihr mir hier weiterhelfen könnt.
>
> Mittels den anderen Hilfestellungen habe ich bereits einen
> Ansatz:
> Gesucht ist der Flächeninhalt A der durch
> (a-x)(b-y)=(100-x)*(60-y) definiert ist.
Naja, das kommt drauf an, wie Du das Rechteck ins KoSy einzeichnest.
Aber schau'n wir mal den Rest an!
> Meine Extremalbedingung lautet also A=6000-100y-60x+xy.
> Die Nebenbedingung fand ich damit raus, dass ich das
> Rechteck samt ausgebrochenem Dreieck in ein
> Koordinatensystem gezeichet habe
> und herausfand, dass die Geradengleichung des
> Hypothenusenstücks des Dreiecks mit y=(2/5)x+56 definiert
> ist (y=mx+b, m=4/10=2/5, b=54, da a-d=56).
Also demnach hat Du das Rechteck mit der Breite 100 und der Höhe 60 im I.Quadranten eingezeichnet und das "weggebrochene" Dreieck sitzt "oben links, richtig?
> Eingesetzt in die Extremalbedingung ergibt das die
> Zielfunktion A(x)=(2/5)x²-44x+400.
Du hast also dieses y oben eingesetzt. Aber bist Du denn sicher, dass es sich hier um dieselbe Größe handelt? Ich vermute: Nein!
Also ich mach's mal auf meine Art:
Die Seiten des neuen Rechtecks liegen ja parallel (bzw. auf) den Koordinatenachsen. Für ihre Längen entscheidend ist der Punkt
P(x; 2/5x+56)
auf der Hypothenuse des rausgebrochenen Dreiecks.
(Dieses ist der einzige Eckpunkt des neuen Rechtecks, der nicht auf einer Kante des alten Rechtecks liegt!)
Die Breite (waagrecht) des Rechtecks ist a=100-x (wobei für x die Einschränkung 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 10 gilt!);
die Höhe ist mit der y-Koordinate des Punktes P identisch: b=2/5x+56.
Damit krieg' ich raus:
A(x) = (100-x)*(2/5x+56)
oder ausmultipliziert:
A(x) = [mm] -2/5x^{2} [/mm] - 16x + 5600
Überprüf' das erst mal und korrigier mich, wenn Dein Rechteck anders liegt!
Eine allgemeine Bemerkung hab' ich aber noch:
Beachte bei solchen Aufgaben immer, dass es eine beschränkte Definitionsmenge gibt! Wenn dann beim Null-Setzen von A'(x) Lösungen rauskommen, die "unlogisch" sind, so ergibt sich als Konsequenz: Die tatsächliche Lösung liegt "auf dem Rand",
also in Deinem Fall z.B.: a=90, b=60; A=5400
oder: a=100, b=56; A=5600.
Der 2. Fall wäre dann die Lösung!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 29.08.2007 | | Autor: | PhL |
Hallo, danke für die Hilfe bis jetzt.
Das hat mir schon sehr geholfen.
Ein paar Fragen habe ich noch, bevor ich alles sauber aufschreibe.
Die 2. Möglichkeit, die du ganz unten genannt hast, ist die entgültige Lösung?
Und wie genau kommst du darauf?
Wenn ich A(x) ableite komme ich auf A'(x)=-(4/5)x-16 und daraus folgt x=-20.
Was mache ich nun schon wieder falsch?
Das wars dann erstmal.
Hoffe, dass du mir nochmal so schnell und gut antworten und helfen kannst. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 29.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo PhL
erst mal brauchst du das mit der Geradengleichung nicht. denn x,y sind ja die fehlenden Stücke, und man sieht direkt mit Strahlensatz, das y/x=4/10 ist, also y=0,4x.
Aber auch damit kommst du beim Ableiten auf kein Minimum für 0<x<10.
d.h. dass es im Inneren des Definitionsbereichs kein maximum oder Minimum gibt.
Deshalb wird das Max auf dem Rand angenommen. und dass hat dir ja Zwerglein gesagt, dass das immer pssieren kann. es ist dasselbe, wie wenn dich jeman fragt: wo liegt das max oder min von [mm] f(x)=x^2 [/mm] im Bereich von [mm] 3\lex\le12.
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Mi 29.08.2007 | | Autor: | PhL |
Dann danke ich euch beiden.
Ihr habt mir echt gut geholfen, auf den Lösungsansatz wäre ich selbst nie gekommen
Ich zeig den Ansatz morgen meinem Lehrer und mit dem mach ich dann alles weitere.
Euch kann man echt empfehlen. ;)
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