Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 25.01.2013 | | Autor: | bobiiii |
| Aufgabe | Welche Punkte der Fläche $F:xy+yz=1$ haben den kleinsten Abstand vom Ursprung?
Hinweis: Bestimmen Sie jene Punkte $(x, y, [mm] z)\in\sub [/mm] F$, für die [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] minimal wird. |
Hallo allerseits,
kann bitte jemand schauen, ob dieser Rechengang bis jetzt richtig ist?
Hb: [mm] x^2+y^2+z^2 \to [/mm] minimal
Nb: $xy+yz=1$
[mm] \to z=\frac{1}{y}-x
[/mm]
[mm] f(x,y)=x^2+y^2+(\frac{1}{y}-x)^2
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x}= 4x-\frac{2}{y}
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial y}= 2y+\frac{2x}{y^2}-\frac{2}{y^3}
[/mm]
I: [mm] 4x-\frac{2}{y}=0 \to x=\frac{1}{2y}
[/mm]
II: [mm] 2y+\frac{2x}{y^2}-\frac{2}{y^3}=0
[/mm]
[mm] \to 2y+\frac{\frac{1}{y}}{y^2}-\frac{2}{y^3}=0
[/mm]
Wenn ich dann y ausrechnen will kommt mir [mm] y^4=\frac{1}{2} [/mm] raus, wass ja dann [mm] y=(\frac{1}{2})^{1/4} [/mm] wäre...
Kann das so stimmen, oder stimmt überhaupt der Rechengang?
Gruß,
bobiiii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo bobiii!
Diese Werte habe ich auch erhalten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Lediglich bedenken musst Du, dass es zwei Lösungen gibt mit [mm]y \ = \ \red{\pm} \ \bruch{1}{\wurzel[4]{2}}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Fr 25.01.2013 | | Autor: | bobiiii |
Hallo Loddar,
Vielen Dank für die Kontrolle, hab mich nur gewundert, dass solche unschöne Zahlen rauskommen 
Gruß,
bobiiii
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