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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Do 31.05.2012 | | Autor: | Jack2k |
| Aufgabe | Mit einem reelen Parameter b sei das Polynom
p(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^{3}+bx^{2}+x+b^2 [/mm] gegeben.
A) Bestimmen Sie für den Fall b = 2 alle Extremstellen dieses Polynoms.
B) Für welche Werte von b hat das Polynom KEINE Extremwerte? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
A)
Teil A klappt (wie jedesmal, Kurzfassung -> 1. Ableitung, anwenden pq Formel, 2. Ableitung, Werte aus pq Formel einsetzen, schauen ob größer oder kleiner als null)
p´(x) = 3 * [mm] \bruch{1}{3}x^{2}+4x+1
[/mm]
p´´(x) = 2x + 4
Danach pq Formel für p´(x)
[mm] x_1_,_2 [/mm] = [mm] -\bruch{4}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{(\bruch{4}{2})^2-1}
[/mm]
[mm] x_1_,_2 [/mm] = -2 +/- 1, daher [mm] x_1 [/mm] = -3 und [mm] x_2 [/mm] = -1
Diese Werte in p´´(x) eingesetzt ergibt
p´´(-3) = -(2*3) +4 = -2 (also ein Maximum) und p´´(-1) = -(2*1) + 4 = 2 (also ein Minimum).
Damit denke ich, das die Aufgabe gelöst wäre (hoffentlich).
B)
Nun komme ich aber zu dem komplizierten Teil. Nämlich, wie ich b wählen muss damit ich KEINE Extremwerte bekomme. Ich hab mir dann gedacht, das ich p´´(-2) setzen muss, damit die 2.te Ableitung = 0 wird und ich somit keinen Extremwert bekomme. Aber irgendwie bekomme ich das nicht hin, es auszurechnen (die -2 ist nur eine Vermutung von mir).
Vielleich kann mir zu B) jemand einen Tip geben ?
Gruß
Jack2k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Do 31.05.2012 | | Autor: | algieba |
Hi
> Mit einem reelen Parameter b sei das Polynom
> p(x) = [mm]\bruch{1}{3}x^{3}+bx^{2}+x+b^2[/mm] gegeben.
>
> A) Bestimmen Sie für den Fall b = 2 alle Extremstellen
> dieses Polynoms.
> B) Für welche Werte von b hat das Polynom KEINE
> Extremwerte?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> A)
>
> Teil A klappt (wie jedesmal, Kurzfassung -> 1. Ableitung,
> anwenden pq Formel, 2. Ableitung, Werte aus pq Formel
> einsetzen, schauen ob größer oder kleiner als null)
>
> p´(x) = 3 * [mm]\bruch{1}{3}x^{2}+4x+1[/mm]
>
> p´´(x) = 2x + 4
>
> Danach pq Formel für p´(x)
>
> [mm]x_1_,_2[/mm] = [mm]-\bruch{4}{2}[/mm] +/- [mm]\wurzel{(\bruch{4}{2})^2-1}[/mm]
>
> [mm]x_1_,_2[/mm] = -2 +/- 1, daher [mm]x_1[/mm] = -3 und [mm]x_2[/mm] = -1
>
> Diese Werte in p´´(x) eingesetzt ergibt
>
> p´´(-3) = -(2*3) +4 = -2 (also ein Maximum) und p´´(-1)
> = -(2*1) + 4 = 2 (also ein Minimum).
> Damit denke ich, das die Aufgabe gelöst wäre
> (hoffentlich).
Du hast hier einen Fehler bei der Berechnung gemacht. Die Wurzel [mm]\wurzel{(\bruch{4}{2})^2-1}[/mm] ist nicht 1 sondern [mm] $\wurzel{3}$. [/mm] Damit ändern sich auch die Nullstellen.
>
> B)
>
> Nun komme ich aber zu dem komplizierten Teil. Nämlich, wie
> ich b wählen muss damit ich KEINE Extremwerte bekomme.
> Ich hab mir dann gedacht, das ich p´´(-2) setzen muss,
> damit die 2.te Ableitung = 0 wird und ich somit keinen
> Extremwert bekomme. Aber irgendwie bekomme ich das nicht
> hin, es auszurechnen (die -2 ist nur eine Vermutung von
> mir).
Ich verstehe nicht was du da machen willst. Ich kann dir aber trotzdem einen Tipp geben:
Die Funktion hat keine Extrema, wenn die Ableitung keine Nullstellen hat. Du musst also zuerst die Funktion ableiten. Nun musst du die Mitternachtsformel kennen, die lautet [mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-b \pm \wurzel{b^2 - 4ac}}{2a}$. [/mm] Nun musst du dir überlegen was in dieser Formel gelten muss, damit die Gleichung nicht lösbar ist, denn wenn die GLeichung nicht lösbar ist, hat die Funktion auch keine Nullstellen, und damit deine ürsprüngliche Funktion keine Extrema.
Hoffentlich kannst du damit etwas anfangen.
Viele Grüße
>
> Vielleich kann mir zu B) jemand einen Tip geben ?
>
> Gruß
> Jack2k
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