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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 20.09.2008 | | Autor: | carl1990 |
| Aufgabe | | Ein kreiszylindrischer, oben offener Behälter vom (lichten) Inhalt V und der Wand- und Bodenstärke a ist mit möglichst wenig material herzustellen. Man bestimme für diesen Fall den Radius r des inneren Grundkreises und den Materialverbrauch M. |
Hallo,
- Matrialverbrauch, d.h. die Oberfläche A des Zylinders, soll minimal werden
-> Ich muss also Gleichung für die Gesamtoberfläche aufstellen und diese dann nach r ableiten und =0 setzen, womit ich r minimal bekomme, welches ich dann wieder in die Oberflächengleichung einsetze und meinen minmalen Materialverbrauch erhalte.
Ich habe angesetzt mit:
[mm] A=2\pi(r+a)([r+a]+h) [/mm] -> komplette äußere Oberfläche
- [mm] \pi r^{2} [/mm] -> nach oben geöffnet
+ [mm] \pi r^{2} [/mm] -> Oberfläche des inneren Gefäßbodens
+ [mm] 2\pi [/mm] r(h-a) -> Oberfläche innerer Mantel
A= [mm] 2\pi(r+a)([r+a]+h)+ 2\pi [/mm] r(h-a)
...geht das?
nach ausklammern und ableiten, komme ich auf
0= [mm] 4\pi [/mm] r + [mm] 2\pi [/mm] a + [mm] 4\pi [/mm] h
das stimmt aber laut lösung nicht wirklich
->vorgegebener lösungsansatz:
$ [mm] 0=\pi r^{4} +a\pi r^{3}-Vr-aV [/mm] $
Würde mich über jede Hilfe freuen :)
Gruß Carl
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> Ein kreiszylindrischer, oben offener Behälter vom (lichten)
> Inhalt V und der Wand- und Bodenstärke a ist mit möglichst
> wenig material herzustellen. Man bestimme für diesen Fall
> den Radius r des inneren Grundkreises und den
> Materialverbrauch M.
> - Materialverbrauch, d.h. die Oberfläche A des Zylinders,
> soll minimal werden
Hallo Carl,
es gibt viele ähnliche Extremwertaufgaben, bei denen
diese Überlegung zulässig ist, nämlich wenn man die
Materialstärke vernachlässigen darf. Hier ist aber genau
dies nicht erlaubt, weil die Wand- und Bodenstärke a
erwähnt wird und offenbar nicht "hauchdünn" sein muss.
Betrachte also den inneren Zylinder mit Radius r, Höhe h
und den äusseren Zylinder mit Radius R=r+a und Höhe H=h+a !
Der Materialverbrauch M ist dann proportional zu
(Volumen äusserer Zylinder - Volumen innerer Zylinder)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 20.09.2008 | | Autor: | carl1990 |
ok dann ist
[mm] M=\pi R^{2}H-\pi r^{2}h
[/mm]
[mm] =\pi (r+a)^{2}(h+a)-\pi r^{2}h
[/mm]
nach ganzen ausklammern komme ich irgendwie auf
M = [mm] 2\pi [/mm] rah+ [mm] a^{2} \pi h+ar^{2} \pi [/mm] + [mm] 2\pi ra^{2} +\pi a^{3} [/mm]
was irgendwie auch nicht hinhaut...
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> ok dann ist
>
> [mm]M=\pi R^{2}H-\pi r^{2}h[/mm]
>
> [mm]=\pi (r+a)^{2}(h+a)-\pi r^{2}h[/mm]
>
> nach ganzen ausklammern komme ich irgendwie auf
>
> M = [mm]2\pi[/mm] rah+ [mm]a^{2} \pi h+ar^{2} \pi[/mm] + [mm]2\pi ra^{2} +\pi a^{3}[/mm]
>
>
> was irgendwie auch nicht hinhaut...
warum denn nicht ?
So weit ist das jedenfalls richtig. Man kann a
und den Faktor [mm] \pi [/mm] ausklammern und hat dann
noch die zu minimierende Grösse
[mm] F(r,h)=r^2+2*a*r+2*h*r+a^2+a*h
[/mm]
Um von den zwei Variablen r und h auf eine
runter zu kommen, hat man noch die Bedingung
mit dem vorgegebenen Volumen:
[mm] \pi*r^2*h=V
[/mm]
Diese Gleichung kann man nach h auflösen und
damit die Funktion F(r,h) in eine Funktion F(r)
mit der einzigen Variablen r umsetzen. Dann
fängt das übliche Verfahren zur Bestimmung der
Extremwerte an.
Man kommt dabei auf eine Gleichung, die auf
den ersten Blick etwas schwierig aussieht - aber
sie hat eine einfache Lösung. Der Rest ist ein
Kinderspiel, wenn Polynomdivision kein Fremd-
wort ist.
LG al-Chw.
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