Extremwertaufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Abmessungen eines (oben offenen) Bassins mit quadratischer Bodenfläche, das ein Volumen von 32m³ hat, wenn für den Anstrich seiner Wände und seines Bodens eine möglichst geringe Materialmenge verbraucht werden soll. |
Hallo Leute,
ich Stelle erstmal einige Bedingungen auf:
V=a²*c=32 [mm] \to c=\bruch{32}{a²}
[/mm]
[mm] \to a=\wurzel{\bruch{32}{c}}
[/mm]
O=a²+4(a*c)
[mm] O(a)=a²+4(a*\bruch{32}{a²})=a²+\bruch{128}{a}
[/mm]
[mm] O'(a)=2a-\bruch{128}{a²}=0
[/mm]
[mm] a=\wurzel[3]{64}=4[/mm] [m]
So, die Breite und sogleich die Länge des gesuchten Beckens ist bestimmt.
Nun kommt die Höhe:
[mm] O(c)=\bruch{32}{c}+4\wurzel{\bruch{32}{c}}+4c
[/mm]
[mm] O'(c)=-\bruch{32}{c²}+2*(\bruch{32}{c})^{-0,5}+4=0 \to [/mm] c=2,64[m]
Der Wert für c ist nicht richtig, wo ist der Fehler?
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie die Abmessungen eines (oben offenen) Bassins
> mit quadratischer Bodenfläche, das ein Volumen von 32m³
> hat, wenn für den Anstrich seiner Wände und seines Bodens
> eine möglichst geringe Materialmenge verbraucht werden
> soll.
> Hallo Leute,
> ich Stelle erstmal einige Bedingungen auf:
> V=a²*c=32 [mm]\to c=\bruch{32}{a²}[/mm]
> [mm]\to a=\wurzel{\bruch{32}{c}}[/mm]
>
> O=a²+4(a*c)
>
> [mm]O(a)=a²+4(a*\bruch{32}{a²})=a²+\bruch{128}{a}[/mm]
> [mm]O'(a)=2a-\bruch{128}{a²}=0[/mm]
> [mm]a=\wurzel[3]{64}=4[/mm] [m]
>
> So, die Breite und sogleich die Länge des gesuchten Beckens ist bestimmt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis hier alles richtig !
>
> Nun kommt die Höhe:
> [mm]O(c)=\bruch{32}{c}+4\wurzel{\bruch{32}{c}}+4c[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
die obige Gleichung stimmt erstens nicht, und nulltens brauchst du sie gar nicht!
du musst für die Berechnung der Bassintiefe c gar keine neue Ableitung mehr berech-
nen, sondern c ergibt sich aus der allerersten Gleichung, die du ganz oben notiert hast !
> [mm]O'(c)=-\bruch{32}{c²}+2*(\bruch{32}{c})^{-0,5}+4=0 \to[/mm] c=2,64[m]
>
> Der Wert für c ist nicht richtig, wo ist der Fehler?
>
P.S.: Vergiss nicht nachzuweisen, dass du wirklich eine minimale
(und nicht etwa maximale)Bassin-Innenfläche hast !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
danke für die Antwort, ist wirklich der leichtere Weg es einzusetzen. Ich hätte jedoch noch eine kurze Frage, und zwar weshalb meine Gleichung O(c) falsch ist. Ich habe doch nach a umgeformt und eingesetzt. Wo ist der Fehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Mi 11.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] O=a^2+4ac
[/mm]
dein Ausdruck
[mm] O=32/c+4*\wurzel{32/c} [/mm] +4c
richtig wäre
[mm] O=32/c+4*\wurzel{32/c} [/mm] *c
woher du die +4c hast weiss ich nicht, dafür hast du den Faktor c beim 2ten Term vergessen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo, ja jetzt weiß ich, was falsch war, danke.
|
|
|
|
