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| Aufgabe | Im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems soll ein Rechteck, zwischen den Koordinatenachsen und der Kurve [mm] y=\wurzel{a-x} [/mm] (a > 0)
einbeschrieben werden, so dass die rechte obere Ecke des Rechtecks auf der Kurve liegt. Welche Länge s muss die horizontale Rechteckseite haben, damit die Rechteckfläche maximal ist? |
Hallo,
irgendwie komme ich da nicht weiter. Ich habe bislang diese Formel erstellt F(s) = s [mm] \* [/mm] f(x) = s [mm] \*\wurzel{a-x}
[/mm]
Daraus habe ich die erste Ableitung die da lautet, [mm] \bruch{s}{2\*\wurzel{a-x}}
[/mm]
und genau da hänge ich nun. Wen ich versuche bei der ersten Ableitung nun die Nullstellen raus zu finden, bekomme ich logischerweise nur die null raus. Die aber macht eingesetzt nun auch keinen Sinn.
Hab ich da irgendwas übersehen? Oder habe ich die gesamte Formel falsch aufgestellt?
In diesem Sinne...warumauchimmer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 So 08.07.2007 | | Autor: | hase-hh |
gut,
dein rechteck hat die seiten x und f(x) oder nicht?!
d.h. deine zielfunktion:
F(x) = x * f(x)
F(x) = x* [mm] \wurzel{a-x}
[/mm]
hier musst du natürlich noch beachten, dass a [mm] \ge [/mm] x sein muss!
denke produkt- und kettenregel helfen hier weiter
F'(x) = [mm] 1*\wurzel{a-x} [/mm] + [mm] x*(0,5)*\bruch{1}{\wurzel{a-x}}*(-1) [/mm]
null setzen
0 = a-x -0,5x
x = [mm] \bruch{2}{3}a
[/mm]
[mm] F(\bruch{2}{3}a) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}a* \wurzel{\bruch{1}{3}a}
[/mm]
:
gruß
wolfgang
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Hm, aber s ist doch nicht gleich x?! Oder doch? Das würde irgendwie keinen Sinn machen wen ich für x den gleich wert wie für s nehmen würden. Und habe ich da etwas grundsätzliches nicht verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das grundsätzlich falsche ist, dass du scheints keine Skizze hast. sonst würdest du das sehen s=x, wo willst du denn sonst die Seite f(x) dransetzen?
Gruss leduart
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Hallo,
ich habe schon ein skizze, war mir eben nicht sicher da ich einen unterschied zwischen der Funktion und dem x in für das Quadrat gesehen habe. War also eher eine grundsätzliche Verständnis frage. Dennoch habe ich nun immer noch das gleiche Problem. Wen ich versuche nun die Nullstelle zu ermitteln, dann bekomme ich da nichts heraus. Jedenfalls nichts was auch eine Lösung hindeuten würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum ist x=2/3a keine Lösung des Problems?
> einen unterschied zwischen der Funktion und dem x in für
> das Quadrat gesehen habe.
diesen Satz versteh ich nicht!
Gruss leduart
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Hallo,
weil ich keine Ahnung habe wie da nun drauf gekommen bist.
Ich gebe gerne zu das die Zeile, die du nicht verstehst, mir gerade auch einige Schwierigkeiten bereitet hat. Was ich damit ausdrücken wollte war eben das Unverständnis, das die Seitenlänge des Rechtecks, also die Strecke s und der Wert x der Funktion ein und die selbe variabel verwenden, also x. Ich habe da einfach einen unterschied drin gesehen.
In diesem Sinne, warumauchimmer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es wurde doch die Zielfunktion mit [mm] $F(x)=x\cdot [/mm] f(x)$ aufgestellt.
F(x) gibt dann den Flächeninhalt an.
Dann wurde die erste Ableitung von F bestimmt, diese gleich Null gesetzt, um ein Extrema zu bestimmen.
Dann noch kontrollieren, ob es sich um einen Hochpunkt handelt (weil der Flächeninhalt ja maximal sein sollte), und man hat [mm] $x=\frac{2}{3}a$ [/mm] heraus, da ist dann auch ein Hochpunkt.
Wenn du jetzt wissen willst, wie groß der FLächeinhalt da ist, setzt du das Ergebnis in F(x) ein, und du erhälst das Ergebnis von hase-hh.
Was genau verstehst du nun nicht? Die Vorgehensweise einer Kurvendikssion sollten dir doch bekannt sein!
Und im letzten Schritt wurde einfach F'(x)=0 gesetzt, und dann wurde die komplette Gleichung mit der Wurzel multipliziert, so dass dann dort $a-x-0.5x=0$ überbleibt.
LG
Kroni
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Hallo,
ich verstehs einfach nicht. Ich sitze vor dieser Formel und Begreife immer noch nicht wie ihr auf den Wert 2/3a kommt. Mir ist die Vorgehensweise bei einer Kurvendiskussion schon klar. Ich setze die erste Ableitung null, nur da bekomme ich nichts raus, und mit nichts meine ich auch nichts. Könnte jemand mir genau das schrittweise verdeutlichen. Den rest verstehe ich ja, nur eben bei der Rechnung bekomme ich nichts heraus...
In diesem Sinne...warumauchimmer
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Hallo,
wie man auf [mm] \bruch{2}{3}a [/mm] kommt, hat ja hase-hh schon vorgerechnet.
Mit "ich versteh's nicht" ist weder Dir noch uns gedient. Du solltest genau aufschreiben, an welcher Stelle Du eine Umformung nicht mehr verstehst.
Es war ja
F'(x) = $ [mm] 1\cdot{}\wurzel{a-x} [/mm] $ + $ [mm] x\cdot{}(0,5)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{a-x}}\cdot{}(-1) [/mm] $ .
Dies setzt Du =0:
0=$ [mm] 1\cdot{}\wurzel{a-x} [/mm] $ + $ [mm] x\cdot{}(0,5)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{a-x}}\cdot{}(-1) [/mm] $,
und nun multiplizierst Du mit [mm] \wurzel{a-x}, [/mm] damit der Bruch verschwindet.
Du erhältst
0=[$ [mm] 1\cdot{}\wurzel{a-x} [/mm] $ + $ [mm] x\cdot{}(0,5)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{a-x}}\cdot{}(-1) $]*\wurzel{a-x}
[/mm]
Klammer auflösen, weiterrechnen.
War's das?
Gruß v. Angela
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Hallo,
tut mir leid, das ich mich da etwas missverständlich ausgedrückt habe. Also beim auslösen der Formel komme ich nicht weiter. Also vom Nullsetzen zum Ergebnis 2/3a. Ich versuchen nun schon die ganze Zeit über, die Formel nach x aufzulösen, bekomme es aber einfach nicht hin. Wen ich den Bruch auflöse bekomme ich am ende -1/2x raus. und bin mir verdammt sicher das das falsch ist...
In diesem Sinne...warumauchimmer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo warumauchimmer!
Wie lautet denn Deine Ableitung der Flächenfunktion [mm] $A_a(x) [/mm] \ = \ [mm] x*\wurzel{a-x}$ [/mm] ?
[mm] $A_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] 1*\wurzel{a-x}+x*\bruch{-1}{2*\wurzel{a-x}}$
[/mm]
Wenn Du diesen Term nun durch Erweitern auf den Hauptnenner [mm] $2*\wurzel{a-x}$ [/mm] auf einen Bruchstrich schreibst, erhält man:
[mm] $A_a'(x) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{2a-3x}{2*\wurzel{a-x}}$
[/mm]
Und ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null wird ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
und wie geht das mit dem Erweitern?
In diesem Sinne...warumauchimmer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo,
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> und wie geht das mit dem Erweitern?
>
> In diesem Sinne...warumauchimmer
Hi,
erweitern macht man so:
Du hast z.B. den Bruch [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] .
Erweitern ist dann die Aktion, indem man den Zähler und den Nenner des Bruches gleichzeitig mit ein und der selben Zahl mutlipliziert.
Wenn du dann also bei deiner ersten Ableitung den ersten Summanden mit [mm] $2\sqrt{a-x}$ [/mm] erweiterst, also einmal den Summanden damit multiplizierst und dann wieder teilst, dann kannst du die beiden Brüche auf einen Bruchstrich schreiben, weil die beiden Nenner gleich sind, und dann kommst du zu dem Ergebnis von Loddar.
Ich hoffe, dass es sich bei dir gerade um einen Blackout handelt, weil das ist Mathematik der 5. oder 6. Klasse (Frage: Wie addiere ich zwei Zahlen, von der eine ein Bruch ist).
LG
Kroni
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Hallo,
nein hatte ich nicht, also sowas in der 5. oder 6. Klasse daher brauche ich auch immer die Rechenschritte da mir sonst der zusammenhang fehlt. Tut mir echt leid das ich euch soviel arbeit mache, aber ich kanns wirklich nicht. Aber wen es euch beruhigt zwei Mathekurse habe ich bereits erfolgreich absolviert, und ich meine wirklich erfolgreich... 
Ich versuche gerade die Brüche gerade zu erweitern glaube inzwischen auch das die rechenschritte richtig sind. nur wen ich dann das von loddar angegebene Ergebnis habe, sehe ich noch nicht wie daraus dann die 2/3a bekomme...
In diesem Sinne...warumauchimmer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du weist also nun, wie man auf das Ergebnis von Loddar kommt?
Dann musst du nur noch wissen, wann ein Bruch gleich 0 wird.
Die Antwort lautet: Wenn sein Zähler Null ist!
Nun setzt du den Zähler gleich Null, und löst nach x auf (ist ne lineare Gleichung), dann weist du, wie du auf x=2/3a kommst=)
LG
Kroni
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Achso, stimmt, das kenne ich
JETZT hab ich es endlich verstanden, vielen dank, ich schulde euch was...
In diesem Sinne...warumauchimmer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Di 10.07.2007 | | Autor: | Kroni |
> Achso, stimmt, das kenne ich
>
> JETZT hab ich es endlich verstanden, vielen dank, ich
> schulde euch was...
Hi,
freut uns, dass du die Sache nun verstanden hast=)
Uns schulden tust du doch eigentlich nichts, aber kannst dem Projekt ja dadurch Helfen, indem du nun anderen Leuten durch dein neues Wissen weiterhilfst=)
LG
Kroni
>
> In diesem Sinne...warumauchimmer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Walty |
ich hab mal 'ne skizze erstellt, aus der Du ersehen kannst wie der Ansatz geht...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als Beispiel hab ich mal für a=3 eingesetzt
f(x) ist in rot
ein Beispiel-Rechteck unter der Kurve ist in Grün eingezeichnet.
Dessen Seitenlängen ergeben sich doch aus dem x-Wert und dem Funktionswert an dieser Stelle (in diesem Beispiel ungefähr 1,8 und 1,1)
Du bekommst deine Notation hin, wenn du die untere Seitenlänge mit s bezeichnest, und dir dann vor Augen führst, dass die Höhe des Rechtecks eben gerade "f(x) an der Stelle x=s" ist!
Von allen Möglichen unter die Kurve zeichenbaren Rechtecken hat zu einem (bestimmten, aber dennoch beliebigen) x-Wert s das Rechteck die Seitenlängen s und f(s)
- allgemein geschrieben eben
[mm]F=x*f(x)= [mm] x*\wurzel{a-x}[/mm, [/mm] wobei x alle möglichen Werte zwischen 0 und a annehmen kann. - genausogut könntest Du schreiben
[mm]F=s*f(s)= s*\wurzel{a-s}[/mm] wobei s alle möglichen Werte zwischen 0 und a annehmen kann
so kommst Du auf den Term für die Fläche in Abhängigkeit von x oder s, ganz wie du's schreiben möchtest:
F(s)= s*f(s) oder F(x)=x*f(x)
Welcher Name dort steht ist doch egal, Hauptsache die Bezeichnung bleibt während der ganzen Rechnung erhalten.
Dein s ist eben nicht ein festes s, sondern die Variable, die Du veränderst, um den Flächeninhalt aller möglichen Rechtecke miteinander zu vergleichen. deswegen kannst Du x oder s sagen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 So 08.07.2007 | | Autor: | pleaselook |
Die Ableitung ist so noch nicht richtig!
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Echt? Ich habe die noch durch ein Testprogramm gejagt und das hat das gleiche Ergebnis raus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kann keinen Fehler finden! kannst du ihn genauer sagen?
Gruss leduart
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