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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Andi235 |
| Aufgabe | | Eine Dose soll ein Volumen von 1 l fassen. Welche Abmessungen muss die Dose haben, damit der Materialverbrauch minimal ist? |
Hallo,
wie in der Aufgebenstellung beschrieben, soll der Materialverbrauch bei einer Dose mit 1 l Volumen minimal sein.
Die Zielfunktion lautet demnach:
Zielfunktion
O(r,h)= 2* [mm] \pi*r^{2} [/mm] + 2* [mm] \pi*r*h
[/mm]
Dazu die Nebenbedingung:
Nebenbedingung
V= [mm] \pi*r^{2}*h=1000
[/mm]
h= [mm] \bruch{1000}{ \pi*r^{2}}
[/mm]
Nun die Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen:
Einsetzen der Nebenbedingung
O(r)=2* [mm] \pi*r^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2* \pi*r*1000}{ \pi*r^{2}}
[/mm]
O(r)=2* [mm] \pi*r^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2000}{r}
[/mm]
So nun die Maximierung der Fläche:
Maximierung der Fläche
O'(r)=0 und 0''(r)<0
Nun bin ich mir aber nicht sciher, wie ich O(r)=2* [mm] \pi*r^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2000}{r} [/mm] ableite
Es kann sein, dass ich nen Brett vorm Kopf hab 
Kann mir bitte eben jemand helfen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 16.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ist alles richtig soweit.
Der erste Summand leitet sich nach der Regel
[mm] (ax^{n})' [/mm] = an [mm] x^{n-1} [/mm] für alle a [mm] \in \IR, [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0
ab.
Für den 2. Summanden:
Die Ableitung von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist nach der Quotientenregel [mm] \bruch{-1}{x^{2}}
[/mm]
Die erste Ableitung lautet demnach (nach der Summenregel)
[mm] 4*\pi*r [/mm] - [mm] \bruch{2000}{r^{2}}
[/mm]
Die zweite kriegst Du jetzt wahrscheinlich selber hin!?
Viel Erfolg und schöne Grüße,
Matthias.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Andi235 |
Danke!
Ich hab mich mal an die 2. Ableitung ran gemacht.
Die erste Ableitung war:
O'(r)=4* [mm] \pi*r [/mm] - [mm] \bruch{2000}{r^{2}}
[/mm]
O''(r)=4* [mm] \pi [/mm] + [mm] \bruch{4000}{r^{3}}
[/mm]
Ist das so richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Die beiden Ableitungen sind richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ... nun also weiter mit der Bestimmung der Extremwerte!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Andi235 |
Da bin ich in der Tat schon beim nächsten Problem.
Wie bekomme ich die Funktion nun auf Null gesetzt.
Hier mein Vorschlag:
>> 4 * [mm] \pi [/mm] * r - [mm] \bruch{2000}{r^{2}} [/mm] = 0
>> 4 * [mm] \pi [/mm] - [mm] \bruch{2000}{r} [/mm] = 0
>> 4 * [mm] \pi [/mm] * r - 2000 = 0
>> 12,57r - 2000 = 0
>> 12,57r = 2000
>> r = 159,11
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mo 16.01.2006 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo,
für mich sieht das so aus, als ob Du im 1. Schritt versuchst r auszuklammern, aber dabei nicht berücksichtigst, daß r einmal im Nenner und einmal im Zähler steht. Näherliegender wäre es, wenn du "alle r zusammenbringst", indem du den Term [mm] $\bruch [/mm] {-2000} [mm] {r^2}$ [/mm] erst mal auf die andere Seite bringst und dann mit [mm] r^2 [/mm] malnimmst
Grüße
Frank
PS ich bin Neuling hier und hoffe ich drücke mich verständlich aus
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