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| Aufgabe | | Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen Dose mit vorgegebenem Fassungsvermögen V wählen, wenn man so wenig Blech wie möglich zur Herstellung verwenden will? |
Hallo,
diese Frage habe ich in einem Lehrbuch gefunden und ich denke, ich komme halbwegs gut zurecht. Allerdings stimmt meine Lösung noch nicht ganz mit der aus dem Buch überein.
Was wir wissen:
V = [mm] \pi*r^2*h
[/mm]
O = [mm] 2*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2*\pi*r*h
[/mm]
Nun kann will man ja die Oberfläche nur von einer Variablen abhängig haben, also formt man V nach h um und bekommt:
h = [mm] \bruch{V}{\pi*r^2}
[/mm]
und eingesetzt in O dann:
O(r) = [mm] 2*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2*\pi*r*\bruch{V}{\pi*r^2} [/mm] = [mm] 2*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2*\bruch{V}{r}
[/mm]
Hier gleich eine Frage: Kann man das einfach so machen, weil h dann später durch mein r und gegebenes V sowieso eindeutig bestimmt wird? Hier fehlte mir nämlich irgendwie noch das tiefere Verständnis. Ich suche ja gleich nur ein r, das mir eine minimale Oberfläche liefert, über das h weiß ich ja erst mal noch nicht viel?
Wenn ich nur eine Veränderliche haben will, aber wie hier, eigentlich mehrere Variablen habe, muss man bei solchen Problemen dann immer einen eindeutigen Zusammenhang finden? Was, wenn es keinen gäbe?
Aber gut, ich nehme das erst mal so hin und mache weiter:
Ich will einen Extrempunkt, also O'(r) = 0 [mm] \gdw 4*\pi*r [/mm] - [mm] 2*\bruch{V}{r^2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}}.
[/mm]
Das ist auch ein Minimum, wie man an der zweiten Ableitung sehen kann, ich lasse das mal weg.
Soweit stimmt das mit der Lösung im Buch überein, aber jetzt soll nach Lösung h = [mm] 2*\wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}} [/mm] = 2r sein. Ich hätte jetzt aber versucht, wieder von h = [mm] \bruch{V}{\pi*r^2} [/mm] Gebrauch zu machen und dort einfach r reinzustecken.
Also h = [mm] \bruch{V}{\pi*\wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}}^2}. [/mm] Ich glaube ja nicht, dass die beiden Terme äquivalent sind. Wo liegt jetzt mein Fehler? Das r habe ich ja scheinbar schon richtig bestimmt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo abcdedcba, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie muss man den Radius und die Höhe einer zylindrischen
> Dose mit vorgegebenem Fassungsvermögen V wählen, wenn man
> so wenig Blech wie möglich zur Herstellung verwenden
> will?
> Hallo,
> diese Frage habe ich in einem Lehrbuch gefunden und ich
> denke, ich komme halbwegs gut zurecht. Allerdings stimmt
> meine Lösung noch nicht ganz mit der aus dem Buch
> überein.
Dann schauen wir mal, wer Recht hat. Es muss nicht immer das Buch sein.
> Was wir wissen:
> V = [mm]\pi*r^2*h[/mm]
> O = [mm]2*\pi*r^2[/mm] + [mm]2*\pi*r*h[/mm]
>
> Nun kann will man ja die Oberfläche nur von einer
> Variablen abhängig haben, also formt man V nach h um und
> bekommt:
> h = [mm]\bruch{V}{\pi*r^2}[/mm]
> und eingesetzt in O dann:
> O(r) = [mm]2*\pi*r^2[/mm] + [mm]2*\pi*r*\bruch{V}{\pi*r^2}[/mm] = [mm]2*\pi*r^2[/mm]
> + [mm]2*\bruch{V}{r}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hier gleich eine Frage: Kann man das einfach so machen,
> weil h dann später durch mein r und gegebenes V sowieso
> eindeutig bestimmt wird? Hier fehlte mir nämlich irgendwie
> noch das tiefere Verständnis. Ich suche ja gleich nur ein
> r, das mir eine minimale Oberfläche liefert, über das h
> weiß ich ja erst mal noch nicht viel?
Ja, das kannst Du so machen.
Alternativ könntest Du das Verhältnis von Radius und Höhe festlegen, also h=xr setzen.
> Wenn ich nur eine Veränderliche haben will, aber wie
> hier, eigentlich mehrere Variablen habe, muss man bei
> solchen Problemen dann immer einen eindeutigen Zusammenhang
> finden? Was, wenn es keinen gäbe?
Dann wäre die Aufgabe nicht lösbar.
Meistens aber kann man alle Variablen bis auf eine als gegeben betrachten, also wie feste Zahlen behandeln. Solche "festgehaltenen" Variablen nennt man dann Parameter.
> Aber gut, ich nehme das erst mal so hin und mache weiter:
> Ich will einen Extrempunkt, also O'(r) = 0 [mm]\gdw 4*\pi*r[/mm] -
> [mm]2*\bruch{V}{r^2}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] r =
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}}.[/mm]
> Das ist auch ein Minimum, wie man an der zweiten Ableitung
> sehen kann, ich lasse das mal weg.
Ja, alles gut. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Soweit stimmt das mit der Lösung im Buch überein, aber
> jetzt soll nach Lösung h = [mm]2*\wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}}[/mm]
> = 2r sein. Ich hätte jetzt aber versucht, wieder von h =
> [mm]\bruch{V}{\pi*r^2}[/mm] Gebrauch zu machen und dort einfach r
> reinzustecken.
> Also h = [mm]\bruch{V}{\pi*\wurzel[3]{\bruch{V}{2*\pi}}^2}.[/mm] Ich
> glaube ja nicht, dass die beiden Terme äquivalent sind.
Das ist doch keine Glaubensfrage. Überprüf es!
> Wo
> liegt jetzt mein Fehler? Das r habe ich ja scheinbar schon
> richtig bestimmt.
Hast Du, hast Du. Alles wird gut...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mi 06.07.2011 | | Autor: | abcdedcba |
> Das ist doch keine Glaubensfrage. Überprüf es!
Tatsächlich! Ich hatte schon eine Weile rumgerechnet und versucht mein h umzuformen (darum dachte ich es wäre etwas ganz anderes), aber wenn ich jetzt mal direkt vergleiche, ist es natürlich einfacher:
[mm] 2\cdot{}\wurzel[3]{\bruch{V}{2\cdot{}\pi}} [/mm] = [mm] \bruch{V}{\pi\cdot{}\wurzel[3]{\bruch{V}{2\cdot{}\pi}}^2} \gdw [/mm] 2 = [mm] \bruch{V}{\pi\cdot{}\bruch{V}{2\cdot{}\pi}} \gdw [/mm] 2 = 2.
Auf die Idee bin ich irgendwie gar nicht gekommen. Noch besser wäre es natürlich, wenn ich von vorneherein auf die "schönere" Form gekommen wäre, aber gut, zumindest ist es richtig.
Vielen Dank für deine Antwort!
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
